La relation a5 — c’ = b * donne aussi

c — yja' — b'-,

donc, si BG est le grand axe d’une ellipse, et si sur BC, à partir du

centre, on prend AF = AF = y' a5 — b *, on sera sûr que pour

chaque point de l’ellipse on aura FM -f- FM = 2a. Cette propriété

est celle qui a été trouvée n° 309, et pourrait servir à définir les

foyers s’ils ne l’avaient pas été d’une autre manière.

En mettant dans a — z et dans a -|-z, au lieu de z sa valeur

ex ex ex

— , on retrouve FM = a , F'M = a H . Ces expressions

sont des fonctions rationnelles de l’abscisse x, et cette propriété

est celle que nous avons adoptée pour définition des foyers , selon

l’usage le plus répandu.

314. Chaque foyer divise le grand axe en deux segments respectivement égaux à a \Ja' — b' et a — sja* — 6*, dont le rectangle est égal à b 1 : c’est par cette propriété fort simple que les foyers sont définis dans le traité d’ Apollonius.

315. Aux deux foyers répondent deux droites remarquables, qu’on nomme directrices , et que je vais faire connaître.

Pour la distance du foyer F à un point quelconque M de l’ellipse,

ex c /a* \ fl*

on a trouvé MF =a = - I x ) . Or, si on prend AH = —,

aa\c/ c

si ensuite on mène HL perpendiculaire à AB, et MR perpendiculaire

fl* c MF c

à HL, on auraMR = - x; doncMF = -xMR; donc —-=7 = - .

c a MR a

De l’autre côté du centre, à la distance AH' = AH = — , menez

aussi H'L' perpendiculaire à AB, et MR' perpendiculaire à H'L'. On

aura MR' = — -(- x : mais MF' = a-|- — = -(— + x\; donc c a a \c J

. MF' c aussi = - .

MR’ a

Les perpendiculaires HL et H'L' se nomment les directrices de l’ellipse; et les propriétés précédentes, qui les caractérisent, peuvent s’énoncer ainsi : Les distances de chaque point de l’ellipse à l'un des foyers et à la directrice voisine de ce foyer, sont entre elles comme l'excentricité est au grand axe.

Remarquez d’ailleurs que, d’après la construction, on a AHxc = a‘ : c’est-à-dire que le demi-grand axe AB doit être moyen proportionnel entre AF et AH.

316. Supposons qu’on veuille trouver directement la courbe dont chaque point est tel que ses distances à un point donné et à une droite donnée soient entre elles constammerU m ; n.

Soient F' et H'L' le point et la droite donnés : abaissez la ligne HT"x perpendiculaire à la droite donnée H'L', et divisez PH' en C de manière qu’on ait F'G ; CH' m ; n; il est évident que le point C appartient à la courbe, et qu’on peut supposer wi=FC et n=CH'. Élevez CY perpendiculaire à Cx, et prenez les lignes Cx, CY, pour axes des coordonnées.

Cela posé, x et y étant les coordonnées d’un point quelconque M de la courbe, les distances de ce point au point F' et à la ligne H'L' seront MF' = yV -j- (x — mf et MR' = x + n ; donc , d’après l’énoncé on aura

vV + (g — ”>)*

et, par suite, toutes réductions faites,

n*y* -j- (n* — m’) x* — 2 rrm (n + m) x — 0.

Cette équation est celle de la courbe cherchée, et elle montre que cette courbe sera une ellipse, ou une hyperbole, ou une parabole, selon qu’on donnera m<n,oiim>»,ou»î = n.

Prenons la première hypothèse, et, pour avoir les points où l’ellipse coupe l’axe Cx , faisons y = 0 dans l’équation : il vient (n* — n»’)x* — 2mn(n + m) x = 0 ,

d’où

et x —

Imn n — m ’

la valeur x = 0 donne le point G déjà connu, l’autre valeur détermine le point B. Transportons l’origine au point A, milieu de CB :

il faut changer x en x 4- - -ü> -, et alors on trouve l’équation n — m

, , , , , ... sn’n + m

n'ir -j- (n* — mr) x * = .

L’ellipse est actuellement rapportée à son centre et à ses axes. On connaît déjà la longueur du demi-axe AB; et si on fait x~ 0 dans l’équation précédente, on connaîtra l’autre demi-axe. En désignant ces demi-axes par a et b, on aura

mn /n+m

En désignant par c la distance du centre A aux foyers, on a

r-z tt . / m V m\n 4- m) m*

c=\Jai — bt=\/- - i = .

Mais on a