En cherchant les foyers par l’analyse du n” 308 on a

(‘X CûC

trouvé FM = a , F'M = a-| ; et, plus tard (315), la

forme même de ces valeurs a fait découvrir avec facilité les deux

directrices. A ce sujet, je ferai remarquer d'une manière générale qu’il suffit que la distance d’un point fixe à un point quelconque 'd’une courbe soit exprimée par une fonction rationnelle du 1" degré, entre les coordonnées de ce dernier point, pour conclure qu’il existe une droite fixe qui est telle que les distances de chaque point de la courbe au point fixe et à la droite soient entre elles dans un rapport constant. Voici comment on démontre cette proposition, et comment on détermine la position de la droite.

Désignons par 6 l’angle des axes, que nous laisserons quelconques; par x , y, les cordonnées de la courbe; et par p, p', les deux distances dont il s’agit. D’après l’hypothèse, p est une fonction qu’on peut mettre sous la forme

Supposons qu’une droite de position indéterminée ait pour équation y, — Gtf, + H,

et faisons K = ■■ ■ Sm ° : le n° 224 donnera, pour la

V^l + G* + 2G cos 8 perpendiculaire p',

p' = K(iy — G® — H) :

alors on voit qu’en prenant G = g et H = h, les distances p et p'

seront en effet dans un rapport constant; car on aura

De la tangente et de la normale.

319. Pour avoir une définition de la tangente qui convienne à toutes les courbes, et à laquelle le calcul s’applique facilement, on la considère comme une sécante qui passe d’abord par deux points de la courbe, et qui ensuite tourne autour d'un de ces points jusqu’à ce que l’autre point vienne se confondre avec lui.

Occupons-nous de chercher, d’après celte considération, l’équation de la tangente à l’ellipse dont l’équation est [e] * atyt -(- b'xi = a’é*.

Soient x y et x", y", les coordonnées de deux points pris sur la courbe : si on mène la sécante qui passe par ces points, et qu’on désigne par S l’angle qu’elle fait avec l’axe des x , on aura

tang8=irI5-

Les deux points étant sur l’ellipse, leurs coordonnées doivent satisfaire à l’équation de cette courbe; donc on a «V*+ éV’ = «*0* et a* y"* -}- è’x"’ =a*è*. En retranchant la seconde équation de la première, il vient

Cette équation peut s’écrire ainsi

alors on en tire

ÿ-y" b'ix'+x").

et par conséquent on a

tangS = -

Quand le second point se réunit au premier, on a x"= xf, y"—]/, et alors la sécante devient tangente ; donc, si on suppose, dans l’expression ci-dessus, x"=x' et y" = ÿ. on aura la tangente trigonométrique de l’angle formé avec l’axe des x, par la tangente menée à l’ellipse, au point qui a pour coordonnées x', ÿ. En désignant cette tangente trigonométrique par a, il vient

Par suite l’équation de la tangente sera

ou, sous une autre forme,

a')/ y -f- b'x'x = a*;/* -j- iV*,

ou enfin, en remarquant que a*y'i-\-bt3/t=atb ’, sous celle-ci :

[f] a'ÿy -f- b'x'x — trb \

Comme il n’y a qu’une valeur pour a, on ne peut mener par chaque point de l’ellipse qu’une seule tangente à cette courbe.

320. On peut ici, comme pour le cercle, prouver que la droite ainsi déterminée est tout entière hors de l’ellipse. En effet, si on reprend les équations

et qu’on retranche de la seconde le double de la première, le résultat pourra être mis sous cette forme

a* (y — /)' 4- 4* [x — x'f = ah/ -f — a'bh

La quantité a*y*-l- b'x1 — a' b' est donc constamment plus grande que zéro pour tous les points de la droite, excepté pour celui dont les coordonnées sont x', y : tous ces points, excepté celui de tangence, sont donc situés hors de l’ellipse (302).