PT
En prenant la sous-tangente sur le second axe, on trouverait l’expression analogue
325. Si, par le centre et le point de tangence, on mène le rayon AM (fig. 127), son équation sera de la forme y — a'x; et la condition de passer par le point de tangence donnera y' = a’x'; donc
En cherchant l’équation de la tangente n° 319, on a trouvé
Or, en multipliant ces valeurs l’une par l’autre, il vient
donc le produit des tangentes a et a' reste le même, quelle que soit la position du point de tangence.
326. Pour avoir la tangente trigonométrique de l’angle AMT (fig. 127), formé par le rayon et par la tangente, il suffit de remplacer, dans la formule connue (221)
tangAMT = £=^,
a et ai par leurs valeurs. En réduisant à l’aide de la relation a* y* + b*x' ’5 — arb*, on trouve
,a"8AMI=i^w-
Il est permis de prendre les abscisses x sur le grand axe, et alor s
on a a > b. Si de plus on suppose le point M situé dans l'angle des coordonnées positives, la valeur précédente sera négative; donc l’angle AMT est obtus. Tour qu’il soit droit, il faut que tang AMT soit infinie, ce qui exige qu’on ait x' = 0 ou ÿ = 0. Or, y' n’est zéro qu’aux extrémités de l’axe BC, et x! n’est zéro qu’aux extrémités de l’axe DE; donc les extrémités des axes sont les seuls points de l’ellipse où la tangente soit perpendiculaire au rayon.
327. Cherchons présentement l’équation de la tangente, lorsque cette ligne doit passer par un point donné hors de l’ellipse, et dont nous représenterons les coordonnées par x” et y". Dans ce cas, les coordonnées xd et y' du point de contact sont inconnues, et elles doivent être telles que l’équation de la tangente
soit vérifiée en y remplaçant x par x", et y par y ", d’où résulte cette première équation
[1] d’y* y' -|- b’xd'xd — a’ b*.
De plus, le point de contact étant sur l’ellipse, on doit avoir
[2] d’y"’ + b’x’’ ss a’ b’.
Ces deux équations suffiront pour déterminer les inconnues x' et y’; et quand on les connaîtra, il n’y aura plus qu’à substituer leurs valeurs dans l’équation de la tangente.
Si on tire de l’éq. [1] la valeur de ij en fonction de x', et qu’on la substitue dans l’éq. [2], on aura une équation du second degré en x' qui donne deux valeurs pour cette inconnue. En portant ensuite ces deux valeurs dans l’éq. [1], on trouve les valeurs correspondantes de y'. C’est ainsi qu’on arrive aux formules
a’[b’x" ± y" s/ d’y'” -f b’jd” — a’ b’)
b’(a’y" rp xT \ja’y"’ +4V'* — a’b’ )
Quand le point donné est au dehors de l’ellipse, la quantité a’y"’ + b ’x"* — a’b’ est positive (302), et ces valeurs sont réelles et inégales ; donc il y a deux tangentes. Si le point donné est sur l’ellipse, la quantité d’y"’ -(- b’x!'’ — a’b’ est nulle, et l’on n’a plus qu’une seule solution x' = ar", rj = y"-, donc il n’y a plus qu’une seule tangente. Enfin, si le point donné est intérieur, la
quantité a’y"1 -}- i’x"1 — a’ô* est négative, x' et y' sont imaginaires; donc alors on ne peut plus mener de tangente à l’ellipse.
328. Cherchons l’équation de la normale. On remarque d’abord qu’elle doit être de la forme
Mais de plus elle doit être perpendiculaire à la tangente ; donc
1 aV
a'— = — z- et par suite l’équation de la normale devient
329. Pour avoir le point S (fig. 129), où la normale rencontre l’axe des x , il faut faire y= 0 dans l’équation précédente; la valeur correspondante de x sera celle de AS. On trouvé
AS as
En supposant toujours que BC soit le grand axe, cette valeur de AS aura le même signe que x1, ce qui revient à dire que le point P et le point S sont toujours du même côté du centre.
Si on fait xf = 0, on a AS = 0; donc le point S tombe en A : mais si x augmente positivement , AS augmente aussi , et le point S s’éloigne du centre. Enfin quand x' = a, la distance AS atteint son a*— b*
maximum et est égale à — - — . Soit donc pris AN égal à cette
valeur, le point N sera une limite dont les normales approchent indéfiniment, à mesure que le point M approche lui-même du point B : de telle sorte qu’on peut toujours prendre le point, M assez voisin de B pour que l’intervalle SN devienne moindre que toute quantité donnée.
330. Il existe, entre la direction de la tangente à l'ellipse et celle des rayons vecteurs menés au point de contact , des relations remarquables que nous allons faire connaître.
Soient RT (fig. 130) la tangente au point M, et FM, FM, les rayons vecteurs menés à ce point. La ligne MF passant au point M dont les coordonnées sont x' et \j , son équation est de la forme
Si on fait AF = yV* — h' =, r} la condition de passer par le foyer F
donnera — y' = a!(c — x'), d’où a'= — ;. Pour la valeur de a,
relative à la tangente MT, on a trouvé a = — —^-t. Or, on a
tangFMT:
il viendra
remplaçons donc « et a' par leurs valeurs, et
tangFMT = ,
En effectuant les calculs , et remarquant que aty* + 4V* = a’6*
et que a1 — bî =c*, on trouve successivement
«V* + * V' — b'cxf a*b* — b'cx'
tang MFT = rr-<
a’c/ — (a* — b*)xy arcy — e x y
b* (a* — ex')
~ cy\a* — ex') ~ ey'’
On obtiendrait semblablement, en changeant partout c en— c,
tang FMT = — — .
Ainsi , les angles FMT, FMT, ont leurs tangentes égales et de signes contraires; donc ils sont suppléments l’un de l’autre. Mais l’angle F'Mî est aussi supplément de l’angle FMR; donc FMT est égal à FMR. Si on mène la normale MS, et que des angles droits TMS, RMS, on retranche les angles égaux TMF, RMF', il restera FMS=FMS. Donc, dans l’ellipse, les rayons vecteurs menés au point de contact font avec la tangente, d’un même côté de cette ligne , des angles égaux ; et la normale divise en deux parties égales l’angle de ces rayons vecteurs.
331. Ces propriétés fournissent une construction très-simple pour mener une tangente à l’ellipse par un point donné.
Supposons d’abord que ce point donné M (fig. 131) soit sur l’ellipse. On mène les rayons vecteurs FM et F M, on prolonge l’un d’eux, par exemple FM, d’une quantité MK égale à FM, et on tire FK : la ligne MT, perpendiculaire à FK, sera la tangente demandée. En effet, d’après la construction, le triangle KMF est isoscèle et l’angle K MT = TMF : or, KMT = RMF; donc TMF = RMF; donc RT est tangente.
On peut d’ailleurs s’assurer que cette droite a tous ses points hors de l’ellipse, à l’exception du point M. En effet, pour tout autre point R, on aurait FR -f- RK > FM -j- MK : or, FM + MK = 2a; donc le point R est hors de l’ellipse (310).
332. Remarque. D’après la construction, il est évident que le point 0, où MT rencontre FK, est le milieu de FK ; et comme le point A est le milieu de F'F, il s’ensuit que la droite AO est parallèle à F'K et égale à y F'K : or F'K = 2a; donc AO = a. Donc , si des foyers on abaisse des perpendiculaires sur les tangentes à l’ellipse, la distance des pieds de ces perpendiculaires, au centre de l'ellipse, est constante et égale au demi-grand axe : de sorte que tous ces points ont pour lieu géométrique une circonférence décrite sur le grand axe comme diamètre.
333. Supposons maintenant que le point donné T (fig. 132) soit extérieur à l’ellipse. Si le problème était résolu, que TM fût la tangente et M le point de contact, en menant par le foyer F' la ligne F 'MK égale au grand axe 2a, et par le foyer F la ligne FK, la tangente TM serait perpendiculaire sur le milieu de FK, et l’on aurait TF = TK ; donc le point K sera déterminé par la rencontre de deux circonférences, l’une décrite du point F' avec le rayon 2a, et l’autre , du point T avec le rayon TF. Le point K étant connu, on tire F'K et KF, puis on abaisse TR perpendiculaire sur KF. Cette perpendiculaire est tangente à l’ellipse, et le point M, où elle rencontre F'K, est le point de tangence.
En effet, par construction, TK = TF; donc RT est perpendiculaire sur le milieu de KF; donc MK=MF, et par suite F'M-|-MF=2a, ce qui prouve déjà que le point M est sur l’ellipse. De plus, l’angle FMT = TMK — RMF ; donc TM est tangente.
334. Comme deux cercles peuvent se couper en deux points, il peut aussi y avoir deux tangentes. C’est ce qui arrive quand le point T est hors de l’ellipse, car les conditions relatives à l’intersection des cercles sont alors remplies. En effet, si on joint F’T, le triangle F'TF donne F'T <F'F + FT, et a fortiori F'T < 2a+FT; donc i° la distance des centres est plus petite que la somme des rayons. Ensuite, le même triangle donne FT<F'F4-F'T, et a fortiori FT < 2a -(- F'T. D’ailleurs, puisque le point T est extérieur à l’ellipse, on a 2a<FT + FT (310); donc 2° chaque rayon est moindre que la distance des centres, augmentée de l’autre rayon ; donc les cercles se coupent , et il y a deux tangentes.
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 25i
Si le point T était sur l’ellipse (fig. 133), le plus grand l’ayon 2 a serait égal à la distance des centres F’T, augmentée du plus petit rayon TF ; donc les cercles se toucheraient intérieurement , et il n’y aurait qu’une seule tangente.
Si le point T était intérieur (fig. 13*1), le plus grand rayon 2a serait plus grand que la distance des centres F'T, augmentée de l’autre rayon TF ; donc l’un des cercles serait tout entier intérieur à l’autre, et il n’y aurait plus de tangente.
Des diamètres.
33b. Il a déjà été dit que, dans les lignes du second ordre, le diamètre est une droite qui divise en parties égales toutes les cordes parallèles à une même direction. Il est facile d’appliquer le calcul à cette définition et d’en déduire l’équation d’un diamètre quelconque. Il suffit pour cela de prendre l’équation générale d’une corde , et de chercher le lieu géométrique qui contient toujours le milieu de cette corde , quand on suppose qu’elle se meut parallèlement à elle-même dans le plan de la courbe.
Soit donc
y = hx -f- p
l’équation d’tane corde quelconque FG (fig. 13b). En la combinant avec celle de l’ellipse ,
on trouve facilement les coordonnées des points F et G , où la droite rencontre la courbe. L’élimination de y donne
23 fia*
équation dont les racines sont les abscisses AH et AK des points F et G. Il est facile de voir que l’abscisse AP du milieu I de FG est égale à |(AI1 -j- AK) ; donc, si on nomme x cette abscisse AP, et x\ x", celles des points F et G , on aura x — { [x1 -f x"). Or, on sait que dans l’équation générale du 2e degré la somme des deux racines est égale au coefficient du second terme, pris avec un
signe contraire; donc x'-\-x"=- — par conséquent, pour l’abscisse AP, on a
8pa*
x~ fi* -fa’S*
Si on met cette valeur dans l’équation de la corde, on trouve pour l’ordonnée correspondante IP,
pô*
Actuellement, si , afin d’éliminer p, on divise y par x, il vient
x=in*
ou
Cette équation contient encore 8; par conséquent elle représente le lieu géométrique des milieux de toute les cordes pour lesquelles 8 est constant, c’est-à-dire de toutes les cordes parallèles à une même direction. Cette équation est donc celle d’un diamètre; et comme la droite qu’elle représente passe à l’origine, qui est ici le centre de la courbe, on conclut que tous les diamètres de l’ellipse passent par le centre.
Réciproquemeut, toute droite menée par le centre est un diamètre : car en faisant passer 8 par tous les états de grandeur, le coefficient de x, dans l’équation du diamètre, prend iui-mème toutes les valeurs possibles, positives ou négatives.
336. Il y a un rapport remarquable entre la direction d’un diamètre et celle des cordes qu’il coupe en parties égales. Soit toujours • | ;■
l’équation d’une corde quelconque, et soit
celle du diamètre correspondant. On vient de trouver 8’= — de là, entre les iangentes 8 et 8’, cette relation fort simple
qui pourra toujours servir à les déduire l’une de l’autre.
