De cette relation découlent plusieurs conséquences

1° A l’extrémité du diamètre menons la tangente MT (fig. 135), et nommons a la tangente trigonométrique de l’angle MTz : on a trouvé (325) entre a et 8’ la relation

donc SS'rrroS' ; donc a =8. Donc les cordes , qu’un diamètre divise en parties égales, sont parallèles à la tangente menée à l’extrémité de ce diamètre.

2° Le produit 88', étant constant et égal à , ne peut pas de-

venir égal à — 1, si ce n’est dans le cas du cercle où b = a; donc les axes actuels des coordonnées sont les seuls axes de la courbe, puisqu’aucun autre diamètre n’est perpendiculaire aux cordes qu’il divise en parties égales.

3° Si on mène un second diamètre dont l’équation soit y = Sx, les cordes que ce diamètre coupe en leurs milieux evront être parallèles au premier, car si on représente l’équation générale de

ces cordes par y = 8’'x-f- p, on doit avoir 88" = — , et par conséquent 88' = 88", d’où 8"= 5’. Ainsi , deux diamètres dont les équations sont

y = Sx, y=S'x,

et pour lesquels on a la relation [1], sont tels que chacun d’eux divise par moitiés les cordes parallèles à l’autre. Cette propriété leur fait donner le nom de diamètres conjugués.

Des cordes supplémentaires.

338. Dans l’ellipse, on appelle cordes supplémentaires celles gui sont menées d'un point de cette courbe aux extrémités d’un diamètre. Telles sont GM et G'M (fig. 136).

Si on désigne par x‘ , y’, les coordonnées du point G , celles du point G' seront — zt, — y1; si de plus on représente par x , y, celles du point M, et par y, y’, les tangentes trigonométriques des angles MHx, MLx, formés par les cordes supplémentaires avec l’axe BC, les valeurs de y et de y’ seront (214)

En multipliant y par y’, il vient

Tl'

Les points M et G étant sur l’ellipse , on a entre x et y, x' et ÿ , les

deux équations y' = — (a1 — a:1), y* = — (a* — a/*); en retranchant

l’une de l’autre , il vient y * — y” = — — (z* — x'’) ; donc

Telle est la condition qui doit toujours être remplie lorsque deux cordes sont supplémentaires.

Réciproquement , toutes les fois que celte condition est remplie pour deux cordes qui passent aux extrémités d’un diamètre, ou pour deux cordes qui passent par un même point de l’ellipse, on est assuré qu’elles sont supplémentaires.

En effet, supposons qu’elles passent en G et G', et que leur intersection N ne tombe pas sur l’ellipse : soit M le point où G'N rencontre l’ellipse , et menons MG. Puisque MG et MG' sont des cordes supplémentaires , on aura

tang MLz X tan g MHz = ■

or, par hypothèse, on a

tang MLx X tang NK.z = — ^ ;

donc tang MHz = tang NKx, donc NG et MG se confondent. Supposons maintenant qu’on ait

tang MLz x tang MHz = ; ,

je dis que la ligne GAG' sera droite. S’il en est autrement, soit AO le prolongement de G'A, menez MO : on aura

tang MLz X tang MIz = — — ;

donc, à cause de l’hypothèse, il vient tang MHz = tang MIz, c’està-dire que MO se confond avec MG, et AO avec AG.

339. L’équation [t] est remarquable en ce qu’elle montre que le produit -pt’ demeure constant , non-seulement quand on change la direction des cordes supplémentaires qui passent par les extrémités d’un diamètre, mais encore quand on mène ces cordes par les extrémités d’un nouveau diamètre. De là il résulte que si deux cordes supplémentaires BN et CN (fig. 137) sont menées par les extré-

mités d’un diamètre, de l’axe BC, par exemple, les parallèles à ces cordes, menées par les extrémités de tout autre diamètre GG', seront aussi supplémentaires relativement à cet autre diamètre : et ces nouvelles cordes GM, G'M, étant prolongées, feront entre elles les mêmes angles que les premières.

340. Pour les tangentes a el a!, des angles formés avec l’axe BG

(fig. 138) par la tangente MT et le demi-diamètre AM, on a trouvé (325) le même produit que pour y?'; donc ut! — •p{. Il suit dé là que si on doit avoir ; c’est-à-dire, en d’autres termes,

que si on mène le demi-diamètre AM au point de contact, si on tire, par l'extrémité d’un diamètre quelconque, la corde GN parallèle à AM, et si on tire ensuite la corde supplémentaire NB, la tangente MT sera parallèle à cette dernière corde.

Cette construction fait connaître la tangente à l’ellipse en un point donné sur cette courbe; et il est facile de la modifier pour le cas où la tangente doit être parallèle à une droite donnée HK. Alors on mène BN parallèle à HK, on tire la corde supplémentaire CN, puis le rayon AM parallèle à CN, puis enfin MT parallèle à BN : la tangente cherchée est MT.

341. Pour deux diamètres conjugués, dont les équations sont y = ox, y = «Y, on a trouvé aussi (337) entre 3 et S' la même relation qu’entre y et y'- Be là on conclut encore que deux diamètres parallèles à des cordes supplémentaires sont toujours conjugués; et réciproquement, que deux diamètres conjugués sont toujours parallèles à des cordes supplémentaires.

D’après cela , on peut facilement construire deux diamètres conjugués qui fassent entre eux un angle donné, quand l'ellipse est déjà décrite et qu’on en connaît le centre. On tire (fig. 139) un diamètre quelconque AB, sur lequel on décrit un arc de cercle ACB capable de l’angle donné ; et par un des points où cet arc coupe l’ellipse, on mène les cordes supplémentaires CA, CB : ces cordes seront parallèles aux diamètres cherchés, et en leur menant des parallèles EE' et FF' par le centre, on aura ces diamètres.

Sur la figure, l’arc ACB, capable de l’angle donné, ne rencontre l’ellipse qu’en un seul point (on fait abstraction des points A et B); mais le prolongement de cet arc coupe l’ellipse en un autre point D, qui détermine une seconde solution, quoique l’angle ADB ne soit pas égal à l’angle donné. Il est clair, en effet, qu’il en est le supplément. Or, deux diamètres parallèles aux cordes AD et BD font

entre eux quatre angles , dont deux sont égaux à ADB, mais dont les deux autres sont égaux à l’angle supplémentaire; donc ces nouveaux diamètres satisfont encore au problème.

Il y aurait plusieurs observations à faire sur cette construction, mais on se bornera à remarquer que la circonférence décrite sur AB ne peut pas donner d’autres diamètres conjugués : car le cercle et l’ellipse ne peuvent pas avoir plus de quatre points communs , attendu que leurs équations , étant du second degré en x et en y, n’ont pas plus de quatre solutions communes.

342. Dans chaque ellipse les angles des cordes supplémentaires sont toujours compris entre certaines limites , et il en doit être de même de ceux des diamètres conjugués. Pour déterminer ces limites plus simplement, nous supposerons, et cela est permis (n° 339) , que les cordes soient menées par les extrémités de l’axe BC (fig. 140). Alors on trouve facilement

tang MDx

et par suite on aura

tang MCx

tang CMB =

2 ay

Mais le point M étant sur l’ellipse, on a a*y* + btxi = a'b', d’où

x * — a* = donc

— 2oi5

t-gCMB = (^-^. •

Si BC est le grand axe , et que le point M soit au-dessus de cet axe, la valeur précédente sera négative, ce qui montre que l’angle CMB est obtus. Cette valeur, abstraction faite du signe, atteint son minimum lorsque y = b : alors le point M est en D à l’extrémité du second axe, et les corde§ supplémentaires sont BD et CD. L’angle obtus CDD est donc le plus grand angle, et son supplément BDK , le plus petit angle que puissent faire deux cordes supplémentaires. Pour l’angle maximum CDB, on a

— 2 nb

tang CDB = — — .

De part et d’autre, du petit axe DE, il y a deux points M et N, pour lesquels y a la même valeur; il y a donc aussi deux points pour lesquels les angles CMB, CNB, formés par des cordes supplémentaires, sont égaux entre eux. D’ailleurs, comme il n’y a que deux points pour lesquels y ait une même valeur, il n’y a aussi, au-dessus de RC , que deux systèmes de cordes supplémentaires formant entre elles un angle donné.

Ainsi , on peut avoir deux systèmes de diamètres conjugués qui se coupent sous un angle donné, et jamais davantage.

Ils se réduisent à un seul dans deux cas : i° lorsque les diamètres sont parallèles aux cordes BD et CD; 2° lorsqu’ils sont les axes mêmes de l’ellipse.

Enfin il n’existera plus de diamètres conjugués formant entre eux un angle donné, lorsque cet angle sera plus grand que l’angle obtus BDC, ou moindre que l’angle aigu BDK.

343. Les axes de l’ellipse n’étant autre chose que des diamètres conjugués rectangulaires, il faut, pour les construire, quand on connaît le centre , décrire une circonférence de cercle sur un diamètre quelconque ; mener , par un des points d’interseetion , des cordes aux extrémités du diamètre, et, par le centre, des parallèles à ces cordes : ces parallèles seront les axes demandés.

Au reste, la symétrie de l’ellipse, par rapport à ses axes, rend raison de cette construction. Il résulte, en effet de cette symétrie qu’un cercle décrit du centre A (fig. 441 ), avec un rayon quelconque AM, coupera la courbe en quatre points situés, deux à deux, symétriquement par rapport à chacun des axes, et que la figure MNQP, formé par ces points, est un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes : donc en menant, par le centre, des parallèles BG et DE aux côtés de ce rectangle, on aura les axes de l’ellipse.

344. Dans les constructions précédentes, on a supposé connu le centre de l’ellipse. Quand cette courbe est donnée, ce point est en effet facile à trouver : il suffit de mener deux cordes parallèles EF et GH (fig. 142), de tirer par leurs milieux la droite PQ, et de prendre ensuite le milieu A de cette ligne. Le point A est le centre cherché; car PQ est un diamètre, et tout diamètre passe par le centre et y est coupé en deux parties égales.

L’ellipse rapportée à ses diamètres conjugués, etc.