L’équation que nous avons employée jusqu’à présent

[e] «y -f- AV = a8 A8,

est celle de l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes. Si on rapporte cette courbe à des axes obliques, et que son équation conserve la même forme, c’est-à-dire ne contienne que les carrés des variables et une partie constante, les nouveaux axes seront des diamètres conjugués, puisque chaque valeur de Tune des coordonnées fera trouver pour l’autre deux valeurs égales et de signes contraires. Il n’en serait plus ainsi avec une autre forme d’équation; donc on passera de l’éq. [e] à l’équation aux diamètres conjugués, en cherchant tous les systèmes d’axes pour lesquels l’équation de l’ellipse conserve la même forme.

Prenons donc (190) les formules qui changent les axes rectangulaires en obliques, et supprimons-y les termes constants, attendu que l’origine doit rester au centre de l’ellipse : on aura x = x' cos a -j- ÿ cos a', y —ai s in a 1/ sin d. Substituons ces valeurs dans [e]; et posons, pour abréger,

A = as sin2 d -j- A* cos8 d, B = a* sin2 a -j- A8 cos2 a,

G = «2 sin a sincf + A8 cos a cos a il viendra

[1] Ay12 + BV -f 2Cx'y = a* A2.

Afin que cette équation ne contienne x' et ÿ qu’au carré, il faut profiter de l’indétermination de o et de d pour faire disparaître le rectaijgle x'y. Posons donc

[2] a* sin a sin d -f- A8 cos a cos d = 0, et l’équation [1] sera réduite à celle-ci

[3] Ay'1 + BV = a’A8.

346. L’ellipse est actuellement rapportée à des diamètres conjugués. Si on veut connaître leurs longueurs FG, HK (fig. 143), on fera successivement i/= 0 et j! =0 dans cette équation. En désignant AF par a', et AH par A', on trouve

a B a!sin!a-j- A* cos!a’

fj* — — — ,

A fl8sin*a'-j-A8cos8«'

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 259 tfil

Par suite on a A = li = — , et l'équation [3] devient

[<?,] aîy"'-+b'-xi=.a!'-b'\

347. L’équation [2], étant divisée par a- cos a cos ni, devient

[6] tang a tang a' —

Or, il est clair qu'en donnant à l’axe Ax' une position quelconque, ce qui revient à déterminer a, on pourra sur-le-champ assigner une valeur réelle à a'; donc chaque diamètre a son conjugué. De plus, comme l’équation précédente est la même que celle qui lie entre elles les directions de deux cordes supplémentaires (338), il s’ensuit que si l’une de ces cordes est parallèle au premier diamètre, l’autre corde sera aussi parallèle au second. Ainsi on peut dire que deux diamètres conjugués sont toujours parallèles à deux cordes supplémentaires ; et que, réciproquement, deux diamètres parallèles à des cordes supplémentaires sont toujours conjugués. Ces propriétés sont déjà connues (341).

348. Supposons sin a = 0 et cos a' = 0, ce qui fait coïncider les x' avec les x, et les ÿ avec les y : l’éq. [2] est satisfaite, et cela doit être puisque les axes de l’ellipse sont des diamètres conjugués. Nous savons même qu’ils forment le seul système de diamètres conjugués rectangulaires qui existe dans l’ellipse, et c’est ce qu’on peut retrouver facilement. En effet, supposonsqu’il y en ait d’autres : pour ces diamètres on devrait avoir a' = 90° + a, et par suite

sin a' = sin (90° -j- a) = sin (90° — a) = cos a, cos a! = COS (90° -j- a) = — COS (90° — a) = — sin a.

Ces valeurs étant substituées dans l’éq. [2], on aurait (as — 5*) sin a cos a = 0;

et comme on ne peut pas disposer des quantités a et b , on ue peut satisfaire à cette égalité qu’en faisant sin * = 0 ou cos a = 0, suppositions qui ramènent précisément aux deux axes primitifs.

Si l’ellipse se change en cercle, on a a = b, et la dernière égalité est vérifiée d’elle-même, quelle que soit la valeur de a: ainsi, dans le cercle tous les diamètres conjugués sont rectangulaires. Dans l’ellipse, les axes seuls jouissent de cette propriété.