Si on demandait que les diamètres conjugués fussent

égaux, on aurait, en égalant les valeurs de a* et A'8, a* sin8 « -(- A8 cos8 a = a8 sin8 a' -)- A8 cos8 a'.

En remplaçant cos8 a par 4 — sin’ a, et cos8 a' par t — sin8 a', cette équation se change facilement en ( a 8 — A8) (sin8 a — sin8 a') = 0 : De là sin8 a' = sin8 a', cos8 a' = cos8 a , tang8 a! — tang8 a, et enfin

tang a' = ± tanga.

Mais l’éq. [6] exigeant que tanga et tanga' soient de signe contraire, il faut prendre tang a' = — tanga. Alors l’éq. [6] devient

tang8 a = — , d’où tanga = ±-.

Le signe supérieur est relatif à l’un des diamètres, et l’autre à son conjugué. Or, si on mène (fig. 144) les cordes BD et CD par les extrémités des axes , on a

tangDCx=-, tangDRr = — a a

donc il faut mener des diamètres parallèles à ces cordes , pour avoir les diamètres conjugués égaux.

Lorsqu’on rapporte l’ellipse à ces diamètres , son équation est rj* -f- a^8 = a'*, laquelle est analogue à celle du cercle, quand il est rapporté à deux diamètres rectangulaires.

350. Il y a, sur les diamètres conjugués de l’ellipse, deux théorèmes remarquables.

Théorème I. Dans l’ellipse, le parallélogramme fait sur deux diamètres conjugués équivaut au rectangle construit sur les axes.

En multipliant, l’une par l’autre, les valeurs de a'8 et A'8, on a

cl* b'1 .

a*sin8a sin*a'-|-A4cos8acos8a'-}-a8A‘(sin8a'cos8a-j-cos8a'sin8a)

Mais on a , entre a et a', l’équation [2], et si on élève ses deux

membres au carré , on en tire a‘ sin8 a sin8 a' -f- A1 cos8 a cos8 a' =

— 2a8A8 sin a sin a' cos a cos a' -, donc le produit a'8A'8 devient

n8 A8 (sin8 a' cos8 a -f cos8 a' sin8 a) — 2a8A8 sin a si n a' cos a cos a’

(sin a' cos a — sin a cos a')8 sin8 (a' — a) ’

et de là on conclut

, a' b' sin (a' — a) = ab.

Or, l’angle a' — « est celui que forment entre eux les diamètres conjugués FG, HK (fig. 145) ; donc, dans le parallélogramme AFLH, la hauteur LI=A'sin (■' — a), et l’aire est exprimée par a! b' sin (a — a). Donc cette aire est constante et égale au rectangle ab des demiaxes , ce qui revient au théorème énoncé.

Théorème II. La somme des carrés de deux diamètres conjugués est constante et égale à la somme des carrés des deux axes.

Si on reprend les équations [2] , [4] , [5] ,

d> sin a sin a' -|- é* cos a cos «' = 0, a’A*

a* sin* a -f- 6’cos**’ a’A’

a® sin* a' -|— 6* cos* a'

et qu’on élimine entre elles les angles a et a', on tombe sur l’équation a'* -j- 6'* = «* -(- à*, qui démontre le théorème énoncé.

Pour faire cette élimination, on tire d’abord de l’équation [4], combinée avec la relation sin’* -f cos* = 1 , les valeurs de sin’* et cos*a : ces valeurs sont

A* (o*— fl1*) •«(a*— A*)’

COS’a

Gomme l’équation [5] se réduit de l’équation [4] en changeant a' en b' et a en a', on déduira sin’*' et cos*a' des valeurs précédentes, en y changeant a' en b', On trouve ainsi

sin’*' =