COS V

Prenons maintenant l’équation [2], transportons le second terme dans l’autre membre, puis élevons au carré : il vient

a4 sin’* sin*a' = A4cos’*cos’*'.

Remplaçons les lignes trigonométriques par leurs valeurs : les réductions sont faciles à apercevoir, et il vient successivement

Ce résultat est conforme à l’énoncé.

351. Les trois équations [2], [4], [5], suffisent pour déterminer trois des six quantités a , b, d , b', a, a', lorsque les trois autres sont connues; elles peuvent par conséquent servir à résoudre toutes les questions relatives aux diamètres conjugués.

Mais il sera souvent plus commode d’employer, au lieu de ces équations, les suivantes, qui en ont été déduites,

tanga tanga = — -,

a'i'sin (a' — a) = ab, d*-\ -V* = a*+b*.

352. Revenons à l’équation [e,], et, pour plus de simplicité, supprimons les accents de a! et de ÿ : on a

Cette équation étant absolument de même forme que celle qui est relative aux axes, toutes les propriétés indépendantes de l’inclinaison des ordonnées seront communes aux axes de l’ellipse et à ses diamètres conjugués. Ainsi on peut regarder les propositions suivantes comme démontrées.

1° Selon qu’un point est situé sur l’ellipse, ou hors de l’ellipse, ou au dedans, la quantité a'!ÿ*+ b',xi — a'26'* sera nulle, positive, ou négative (302).

2° Les carrés des ordonnées, parallèles à un diamètre, sont proportionnels aux produits des segments qu’elles forment sur son conjugué (301).

3° Désignons par a le rapport de sinus, égal au coefficient de x dans l’équation y = ax-J- ê: on aura (319), pour la valeur de a qui convient à la tangente menée à l’ellipse, au point dont les coordonnées sont x' et ;/,

aï= «'V*

et, pour l'équation de la tangente, on aura

Lasous-tangente sera (324)