PT

et on aura toujours, entre les valeurs de a et de a' relatives à la

tangente et au diamètre mené au point de contact , cette relation remarquable (323)

4* Si y — Sx + p est l’équation d’une corde quelconque, et que y=8'xsoit celle du diamètre qui passe par les milieux de toutes les cordes parallèles, on aura (336) la relation

laquelle a encore lieu pour deux diamètres conjugués dont les équations seraient y = 8x et y — %x (337), aussi bien que pour deux cordes supplémentaires menées aux extrémités d’un diamètre quelconque (338).

353. L’ellipse étant rapportée à deux diamètres conjugués, et son équation étant

a''yi+b',x'=a'tb'\

si on veut mener des tangentes à cette courbe, par un point extérieur N (fig. 146) dont les coordonnées sont x" et y", on aura (327), entre les coordonnées inconnues de chaque point de contact, les deux équations

oV +*'’*'*= «'**’% «'W + b'tjfx'—a'tb'\

La seconde prouve que la droite, qui a pour équation a!ty"y-\-b’'x"x=a''b’\

passe par les points de contact. Pour construire cette ligne, on fait successivement y — 0, x = 0, et on obtient les distances de l’origine aux points où elle rencontre les deux diamètres : savoir.

kT = lP’

Si on considère l’une de ces distances, AT, par exemple, on voit qu’elle ne contient pas y" : donc, si on mène la droite NL parallèle à A y, et que d’un autre point quelconque de cette ligne on mène deux tangentes à l’ellipse , la sécante qui passe par les nouveaux points de contact coupera encore le diamètre Ax au même point T. Ce point ne pourrait changer que dans le cas où x" changerait.

Donc, si, de chaque point d’une droite donnée , on mène deux tangentes à une ellipse, et qu’on.joigne les deux points de contact, on

aura des sécantes qui viendront toutes se rencontrer en un même point situé sur le diamètre conjugué de celui qui est parallèle à la droite donnée.

Et réciproquement, si, par un point donné dans le plan d'une ellipse , on tire différentes sécantes , et que, par les points où chaque sécante rencontre la courbe, on mène deux tangentes, le lieu des points d’intersection de ces tangentes, ainsi prises deux à deux, sera une droite parallèle au diamètre conjugué de celui qui passe par le point donné.

354. La conformité des équations [e] et [e,] donne encore un moyen simple de décrire une ellipse par points, lorsqu’on connaît deux diamètres conjugués 2a', 26', et l’angle qu’ils font entre eux. Sur le premier, par exemple , on décrit une ellipse dont les axes soient 2a', 26'; et ensuite on incline (fig. 147) les ordonnées MP, M'F,.... sous l’angle donné, sans changer leurs longueurs : les points N, N',... trouvés par ce procédé appartiennent à la courbe.

Quadrature de l'ellipse.

355. Si, du centre de l’ellipse, avec un rayon égal au demiaxe AB (fig. 148), on décrit un cercle, et qu’on nomme a le demiaxe AB, 6 le demi-axe perpendiculaire AD, et y, Y, les ordonnées telles que NP et MP, élevées au même point P, on a vu (303) que

^ Je vais démontrer que les aires de l’ellipse et du cercle sont

aussi dans le même rapport.

Inscrivons à la circonférence un polygone quelconque CMM'B, de chacun de ses angles abaissons des perpendiculaires sur l’axe BC, et joignons les points où ces droites rencontrent l’ellipse : on formera ainsi le polygone CNN'B intérieur à cette courbe.

Cela posé, un trapèze quelconque PNN' P', pris dans le dernier polygone aura pour mesure } ( PN -f- P' N' ) X PP' ; et le trapèze correspondant PMM'P', pris dans le cercle, aura pour mesure 1 (PM + P'M') X PP'- Ces deux trapèzes seront donc entre eux