PN FN
:: PN + P'N' : PM + F M'. Or, ona^ = ~=:; donc
PM
PN-fP'N' 6
PM -f- P'M' à
Les trapèzes correspondants étant entre eux dans le rapport con-
slant de b à a , les aires des polygones seront aussi dans le même rapport; et cela, quel que soit le nombre des côtés de ces polygones. Donc, ce rapport sera encore celui de leurs limites; donc, en nommant E et E' les aires de l’ellipse et du cercle , on a
c’est-à-dire que l’aire de l’ellipse est à celle du cercle décrit sur l’un des axes, comme l’autre axe est à celui-ci.
En désignant par t. le rapport de la circonférence au diamètre, l’aire du cercle est ira4, et par suite celle de l’ellipse est
E = itaè;
donc l’aire de l’ellipse est égale à celle d’un cercle dont le rayon est moyen proportionnel entre les demi-axes de l’ellipse.
356. Si a! et b' sont deux demi-diamètres conjugués formant un angle y, on sait (350) que ab = a'b' sin y : on a donc aussi, pour l’aire de l’ellipse, en fonction des diamètres conjugués,
E = 7ra b' sin y.
357. Si, au lieu de l’ellipse entière, on ne considère qu’un segment PP'N'N, compris entre deux ordonnées perpendiculaires à l’axe BC, et qu’on fasse un raisonnement semblable à celui qui a été fait pour l’ellipse entière , on trouvera en désignant par S le segment d’ellipse, et par S' le segment correspondant du cercle ,
d'où
La quadrature du premier segment se ramène ainsi à celle du second , laquelle est connue par la Géométrie.
358. Supposons qu’il s’agisse d’un segment d’ellipse, compris entre un diamètre quelconque BC (fig. 119) et deux ordonnées PN, P'N', parallèles à son conjugué. On décrira un cercle sur BC comme diamètre ; on inscrira dans le segment d’ellipse une portion de polygone NKR'N'; puis, ayant mené les ordonnées RS, R'S',
parallèles à NP, on élèvera sur BC les perpendiculaires PM, SH,
qui détermineront sur le cercle les points M, H, Joignons ces
points entre eux, et comparons les trapèzes obliques, tels que PSRN, aux trapèzes rectangulaires correspondants.
Abaissons SI perpendiculaire sur NP. Le triangle rectangle SIP djpnne SI = SP X sin IPS , donc l’aire du trapèze oblique sera
-5 (PN + RS) X SP X sin IPS. L’aire du trapèze rectangulaire est égale à -J (PM + HS) x SP; donc le rapport des deux trapèzes est (PN + RS) sin IPS PM + HS
L’équation de l’ellipse, rapportée aux deux diamètres conjugués, b'1
étant y' — — [a'1 — x ’), celle du cercle, rapportée au diamètre BC
et à un autre diamètre perpendiculaire à celui-ci, sera yt=u'* — x~ ; PN RS V
donc zrrz — et par suite, en nommant y l’angle IPS des
PM HS a
diamètres conjugués, on a
(PN + RS) sin IPS V
PM + HS — ^smï-
Les trapèzes correspondants étant entre eux dans un rapport constant , le segment elliptique sera au segment circulaire dans le même rapport; donc, en les désignant par S et S', on aura
— sin y, d’où S = — S’ sin y.
Pour avoir toute l’ellipse, il faut prendre S'=ita'!, ce qui donne S = -ai b' sin y, comme plus haut (356).
