DE L’HYPERBOLE

L’hyperbole rapportée à ses axes, etc.

359. En plaçant l’origine au centre, il existe (267) un système unique de coordonnées rectangulaires , pour lequel l’équation de l’hyperbole prend la forme [J] y * — m’rr* = p.

Lorsque p = 0, cette équation donne y = ±mx, et alors ellfe

représente deux droites. Laissant ce cas de côté, on a encore à considérer les deux suivants :

[1] y' — ndx* = b*, [2] y1 — »n*x* = — 6’,

selon que p est positif ou négatif. Mais la première équation peut se ramener à la seconde : en effet, remplaçons-y x par y et y par x, divisons tout par m', et changeons les signes : il vient

équation tout à fait semblable à la seconde, et qui s’en déduirait

en mettant dans celle-ci — r au lieu de m1, et au lieu de 6\ Il

mr m-

suit de là que, pour découvrir les propriétés de l’hyperbole, il suffit de considérer l’éq. [2] .

3G0. La forme de cette équation montre sur-le-champ que l’origine est au centre, et que les axes des coordonnées sont aussi des axes de l'hyperbole : mais il n’arrive point ici, comme pour l’ellipse, que les deux axes rencontrent la courbe. En effet, y — 0

donne a; = ± — , et x = 0 donne y = ±b \/ — I.

Ainsi l’axe des x (fig. 130) est encore coupé en deux points B et C,

pour lesquels on a AB = AC = Mais l’axe des y ne rencontre

pas la courbe, car x — O donne des valeurs imaginaires pour y.

Soit — = a : on tire de là m = -, et la substitution de cette

valeur change l’équation [2] en

[A] a* y' — bixi = — a’tr.

L’axe BC, égal à 2a, est ordinairement nommé premier axe ou axe transverse; et quoique l’axe des y ne rencontre pas l’hyperbole, on n’en porte pas moins sur cet axe les distances AD , AE , égales à b, et l'intervalle DE ou 2 b est ce qu’on est convenu de prendre pour longueur du second axe. Les extrémités du premier axe sont les sommets de l’hyperbole.

Pour mettre l’origine au sommet B, il faut changer x en x -{- a, et alors on peut donner à l’équation de l’hyperbole la forme

DEUXIÈME l'Ali'l IE.

Lorsque b = a, les équations [A] et [h’] deviennent y * — x* = — ar et y * = 2ax -}- x * :

on dit alors que l’hyperbole est êquilat'ere. Elle est parmi les hyperboles ordinaires ce qu’est le cercle parmi les ellipses.