En résolvant l’éq. [A], on a

v = zt - Jx* — fl*.

Tant que x est moindre que a, y est imaginaire; x = AB = « donne y = 0; x augmentant jusqu’à + y a deux valeurs réelles et de signes contraires, qui augmentent jusqu’à l’infini. Les valeurs positives de x déterminent donc une branche de courbe telle que RBS, qui s’étend à l’infini dans le sens de Ax, symétriquement au-dessus et au-dessous de cet axe. Les valeurs négatives de x donneront une branche R'CS' tout à fait semblable, de l’autre côté de l’axe A y : car, x changeant seulement de signe, les valeurs de y demeurent les mêmes. Il est clair d’ailleurs que les deux branches qui composent l’hyperbole présentent leur convexité à l’axe des y : autrement, on pourrait mener une droite qui couperait cette courbe du second ordre en plus de deux points.

362. MP étant une ordonnée quelconque de l’hyperbole, le triangle rectangle AMP donne

AM = \fxl+y* = y4c* -f ^ (x* — «*) = y^a~Jr~ x' — b''

L’abscisse x pouvant croître jusqu’à l’infini, AM peut croître aussi jusqu’à l’infini. Mais, dans l’hyperbole, la plus petite valeur de x est a; le minimum de AM sera donc AB = a. Ainsi, le demiaxe transverse est la ligne la plus courte (yue l’on puisse mener entre l’hyperbole et son centre.