Si on rapproche l’une de l’autre les équations

dont l’une représente une ellipse, et l’autre une hyperbole, on voit que, pour passer de la première à la seconde , il suffit de changer b* en — b* ou h en b \j — T. Cette remarque peut être utile pour faire pressentir les propriétés de l’hyperbole qui ont quelque analogie avec celles de l’ellipse.

Des foyers et des directrices.

366. Ce qui a été dit sur les foyers de l’ellipse s’applique à l’hyperbole avec fort peu de modifications. Et d’abord l’équation de l’hyperbole étant

les foyers seront les points dont la distance à un point quelconque de la courbe est exprimée rationnellement en fonction de l’abscisse de ce point.

Soient donc x’, y', les coordonnées d’un foyer ; x, y, celles d’un point à l’hyperbole, et 8 la distance de ces deux points : on aura

O» = (x —x')* -f (y—y')*=x* — 2x'x -f- x’* -f y*— ly'y + yf*.

Or y =- \fx* — a*; donc 8!, et à plus forte raison 8, ne sera point exprimé rationnellement en x, à moins que le terme it/y ne dis-

paraisse, ce qui exige qu’on fasse rj = 0. Alors en remplaçant yt par sa valeur, o1 devient

g» — a-~^ x% — 2x'.r 4-a tf — ô*:

et il faudra que cette expression soit un carré exact. Cette condition exige qu’on ait

et de là on tire, tout calcul fait,

Nous avons déjà trouvé y' — 0 : ainsi l’hyperbole a aussi deux foyers, placés sur son premier axe, de chaque côté du cenére, à la distance

Pour les construire, on élève (fig. 15i) à l’extrémité du premier axe une perpendiculaire Bll, égale à la moitié du second axe, on joint AH, et du point A comme centre, avec AH pour rayon, on décrit une circonférence qui coupe le premier axe en deux points F et F' : ces points sont les foyers. La distance FF' se nomme \’cxcentricité de l’hyperbole.

367. Pour avoir les rayons vecteurs FM et FM, faisons AF = \/a* -f-ô* =c, et substituons, au lieu de x', dans la valeur de o*, d’abord + c et ensuite— c. Nous trouverons, en remarquant que c* — b* — a*,

FM* = ^ — 2 ex +"o\ FM* = C-~ + 2 ex + o? ; a! a%

et par .suite, on aura

Les rayons vecteurs doivent être essentiellement positifs. Or, tant que le point M reste situé sur la branche placée du côté des x poex

sitifs, le terme — est positif et > «; donc alors il faut prendre

les signes supérieurs. Mais ce terme sera négatif, et toujours > a, si le point M est sur l’autre branche; donc alors il faut prendre les signes inférieurs pour que FM et F'M soient positifs.

3C8. Ces distances étant retranchées l’une de l’autre , on trouve F'M — FM=2a pour la première branche, et FM — F'M = 2</

pour la seconde; donc, dans l'hyperbole, la différence des rayons vecteurs est constante et égale au premier axe.

Pour un point N (fig. 152) situé hors de l’hyperbole, on a F'N — FN<2a. En effet, soit M l’intersection de FN et de la courbe, on a F'N <F'M + NM; retranchant d’une part FN, et de l’autre, son égal NM -f- MF, il vient F'N — FN<F'M — MF; or, F'M — MF = 2«; donc F’N — FN <2«. On a supposé que le point M était à droite du second axe; s’il était à gauche, ce serait FN — FN qui serait moindre que 2 a.

Pour un point N' intérieur à l’une des branches, on doit avoir FN' — FN'>2«. En effet, on a évidemment FN' < FM -(- MN', et F'N' = F'M + MN'; donc par la soustraction il viendra F'N' — FN' > F M — FM ou F N' — FN' > 2a.

Ainsi, selon qu’un point est sur l’hyperbole ou au dehors, ou au dedans, la différence des rayons vecteurs est égal au premier axe, ou moindre que cet axe, ou plus grande.

369. Il est facile maintenant de décrire une hyperbole dont on connaît l’axe transverse BC (fig. 132) et les foyers F et F. Du foyer F, avec un rayon quelconque BK, on décrit une circonférence de cercle; et de l’autre foyer F', avec CB -j- BK pour rayon, on décrit une autre circonférence. Les points où ces circonférences se coupent appartiennent à l’hyperbole : car, d’après la construction, on a toujours F'M — FM = BC.

On peut aussi décrire l’hyperbole d’un mouvement continu. Fixez au foyer F' une règle F'M qui puisse tourner autour de ce point : attachez au point M et à l’autre foyer F les extrémités d’un fil MF, d’une longueur telle que F'M — FM soit égal à l’axe transverse CB ; puis faites glisser une pointe le long de la règle, de manière qu’une portion du fil y soit toujours appliquée. La pointe, par ce mouvement, décrit une portion de l’hyperbole demandée.

370. Suivant la marche tracée dans le chapitre précédent, proposons-nous de trouver une courbe telle que la différence des distances de chacun de ses points à deux points fixes soit constante et égale à une longueur donnée 2a.

F et F' (fig. 1 53) étant les deux points fixes, je mènera droite x‘x par ces points, et j’élève la perpendiculaire ÿy au milieu de FF. Je prends ces lignes pour axes, je désigne par x et y les coordonnées AP et MP d’un point quelconque de la courbe, et par 2c la distance FF. Cela posé, puisque la différence F'M — FM est égale

à 2a, on peut représenter FM par z -}- a et FM par z — a: alors les triangles rectangles F'MP et FMP donnent

En retranchant ces deux équations Fune de l’autre, on trouve

iaz = Acx, d’où z = — :

et en mettant cette valeur dans Fune des équations, il vient a*ys — (c* — a’) x* = — a’(c* — a’).

On voit, comme on devait s’y attendre, que la courbe est une hyperbole, dont 2a est le premier axe, et 2 y /c* — as le second.

371. Sans entrer dans d’autres détails sur les foyers, je ferai remarquer, comme pour l’ellipse, que les foyers de l’hyperbole seraient encore définis fort simplement par la propriété que les rectangles F' C x F' B et FB x FC soient égaux au carré b' .

372. L’hyperbole a aussi ses deux directrices. Du côté AF (fig. 153) prenez AH = d, et élevez la perpendiculaire HL. Si d’un point quelconque de la courbe on abaisse MR perpendiculaire à HL, et si on tire MF, on aura

MF a ex — a’ ^ c

MR x — d ex — cd'*' a’

donc ce rapport sera constant, et égal à celui de c à a, si on choisit le point H d’après la condition cd = ai. On arrive à la même conclusion sur quelque branche que le point M soit situé. Ainsi, comme dans l’ellipse, le demi-axe AB doit être moyen projjortionnel entre AF et AH.

Après avoir déterminé AH, on peut, du côté AF, prendre AJH'=AH, élever la perpendiculaire H'L', et reconnaître facilement que pour chaque point de l’hyperbole les distances MF' et MR' sont encore entre elles : : c : a.

HL et H'L' sont les directrices de l’hyperbole. On pourra dire, comme pour l’ellipse, que les distances de chaque point de l’hyperbole à l’un des foyers et d la directrice voisine de ce foyer , sont entre elles comme l’intervalle des foyers est à l’axe transverse.

On peut passer de cette propriété à la recherche du lieu géométrique défini par l’énoncé du n“ 316; et en faisant m > n dans les

résultats, on a vu qu’on doit avoir une hyperbole. Si on suppose que F soit le point donné et HL la droite donnée, si on divise, comme dans le numéro cité, la distance FH de manière qu’on ait FB : BH : : m : n, si l’on prend m = FB, n = BH, et enfin si l’on choisit pour axes de coordonnées la ligne BF et la perpendiculaire BY élevée au point B, on aura encore l’équation

n'y' + (n* — m')x' — imn (n -f- m) x = 0.

Mais ici le multiplicateur de x'- est négatif puisqu’on donne m > n ; et on trouvera que la ligne des abscisses est coupée par la courbe

Qiym

du côté Bx' à la distance BG — .

L’origine étant transportée au milieu A de BC , l’équation de l’hyperbole devient

Les valeurs des demi-axes sont a = —nn— et

m — n V tn — n

avec ces valeurs on trouve facilement

ni*