L’équation de l’hyperbole étant [4] ay èV = — d'h

pour obtenir celle de la tangente, les calculs sont les mêmes que dans Fellipse, avec cette différence que b' sera partout remplacé par — b *. Les résultats seront donc aussi les mêmes , à cette modification près. Ainsi, x', ÿ étant les coordonnées du point de contact, et a étant la tangente trigonométrique de l’angle formé, avec l’axe des x, par la tangente à la courbe, on aura (319)

et l’équation de la tangente sera

[<] a't/y — b'x'x = — aW.

375. Pour montrer à posteriori que tous les points de la tangente , excepté le point de tangence , sont hors de l’hyperbole , il faut, d’après le n° 364, prouver que, pour tous ces points, la quantité a'tf — b'x* + a'b* est positive. Or, tirons de l’équation de la tangente la valeur de y ,

substituons-la à la place de y dans la quantité aïy* — bîxi + a!ô’, réduisons tout au môme dénominateur, mettons au lieu de d'y'* sa valeur b*x ■'* — asôs tirée de l’équation de l’hyperbole, puis effectuons divers calculs faciles à apercevoir, il vient

«Y - ÔV + a*b* = b^x — ay.. tfx* + a'b*

bk(x?x — a*)* -f- (a'b* — b2xr) (b'af* — a* b*) b\x — x')*

= ^ÿî - ÿi— •

Ce dernier membre est essentiellement positif : ainsi , sur la tangente, on a toujours «y — b'x* -j- a'b2 > 0, ce qui prouve que tous ses points sont extérieurs à la courbe. Il n’y a d’exception que pour la valeur x = x' , laquelle donne a* y* — b'x* + a'b1 — 0; et cette valeur nous ramène au point de tangence.

b*xf