SIXIÈME LEÇON

A.utres propriétés des triangles.

THÉORÈME

n triangle a deux côtés inégaux, l'angle plus grand de ces deux côtés est plus V angle opposé à Vautre.

r, 27) le triangle ABC, dans lequel on a il faut démontrer que l'angle ABC est plus 'angle ACB.

AD = AB et menons la droite BDK; le $D étant isocèle, l'angle ABD est égal à B ou à son opposé par le sommet KDC; Z est donc moindre que ABC.

le point B au milieu I de DC, prolongeons igueur lE égale à BI et tirons la droite DE; 5 DIE, BIC ont un angle égal DIE = BIC Te deux côtés égaux DI = IC, El = IB; ils igaux et l'angle EDI est égal à ICB; mais,

d'après la construction, le point E est situé dans Tangle RDC; donc l'angle RDC est plus grand que EDI ou que son égal AGB.

Donc enfin, l'angle RDC étant supérieur à ACB et inférieur à ABC, il faut que l'angle ACB soit moindre que l'angle ABC.

37. Réciproquement, si un triangle a deux angles inégaux, le côté opposé au plus grand de ces deux angles est plus grand que le côté opposé à Cautre^

Ainsi, si l'angle ABC est plus grand que l'angle ACB, on doit avoir AC > AB.

En efiet, si l'on avait AC = AB, on aurait (29)

angle ABC = angle AGB,

et, si l'on avait AC < AB, on aurait (36)

angle ABC < angle AGB.

38. Dans un triangle, un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres.

11 suffit de démontrer que le plus grand côté BC est moindre que la somme BA + AC des deux autres

{fig. 28).

Fig. 28.

Prolongeons BA d'une longueur AD = AC, et menons CD. Le triangle ACD étant isocèle, l'angle D est égal à l'angle ACD et, par suite, moindre que

l'angle BGD; donc (37) dans le triangle BCD, le côté BG est moindre que BD, c'est-à-dire que

BA-hAD ou BA-t-AG.

Corollaires.

39. Dans tout triangle ABC, un côté quelconque BC est plus grand que la différence des deux autres AC et AB. En effet, soit AB le plus grand des deux côtés AC et AB, on auraj d'après le numéro précédent,