GD<GF

-hFD.

Si nous ajoutons ces inégalités membre à membre, il

viendra, en opérant les réductions et additions,

AB H- BG H- CD < AM H- MN -f- ND.

On prouverait de la même manière que toute ligne polygonale com^exe ABGD est moindre que toute ligne polygonale EFGHIR qui V enveloppe de toutes parts {fig, il).

42. Si deux côtés d^un triangle sont égaux à deux côtés d^un autre triangle chacun à chacun, et si Vangle compris entre les premiers est plus grand que Vangle compris entre les seconds, le troisième côté du premier triangle est plus grand que le troisième côté du second {Jig* 32).

Fig. 32.

Soient les deux triangles ABC, A'B'C dans lesquels on suppose AB = A'B', AC = A'C, angle BAC > angle B'A'C; il faut démontrer que le côté BC est plus grand queB'C.

Transportons le triangle A'B'C en ABC, de façon que A'B' coïncide avec AB; TangleBAC, égalàB'A'C, étant moindre que BAC, le côté AC tombera dans Tintérieur de l'angle BAC. Soit I le point où la bissectrice de l'angle CAC rencontre BC; les deux triangles CAI, CAI ayant un angle égal CAI = CAI, compris entre un côté commun AI et deux côtés égaux AC= AC

seront égaux, et l'on aura IC"=IG; mais, dans le triangle BCI, on a

BG''<BI-+-IG''; donc

BC''<B1-+-IG ou B'G'<BC.

43. Réciproquement , si deux triangles ont deux côtés égaux chacun à chacun, et si le troisième côté du premier est plus grand que le troisième côté du second, V angle opposé du premier triangle est plus grand que V angle opposé du second.

Ainsi, en supposant