DIXIÈME ET ONZIÈME LEÇON
Droites parallèles.
DÉFINITIONS
58. Lorsqu'une sécante EF rencontre deux droites quelconques AB et CD, elle fprme avec ces deux droites huit angles, dont quatre autour du point G et quatre autour du point H {Jig> S^).
On distingue alors trois parties sur la sécante : une partie intermédiaire GH comprise entre les deux droites AB et CD, deux parties extrêmes GE, HF non comprises entre ces droites.
Les quatre angles i, 4> 5, 8, dont un des côtés est confondu avec la partie intermédiaire de la sécante EF, sont appelés internes; les quatre autres 2, 3, 6, 7, dont un côté est confondu avec l'une des parties extrêmes de la sécante, sont appelés externes. Il en résulte les dénominations suivantes :
Deux angles qui sont internes, non adjacents et
situés de part et d'autre de la sécante, sont dits alternesinternes : tels sont les angles i et 5, 4 ^^ 8.
Deux angles qui sont externes, non adjacents et situés de part et d'autre de la sécante, sont dits alternesexternes : tels sont les angles 2 et 6, 3 et 7.
Deux angles situés d'un même côté de la sécante, l'un interne, l'autre externe, et non adjacents, sont dits correspondants ; tels sont les angles i et 7, 4 et 6, 2 et 8, 3 et 5.
Enfin, les angles i et 8, 4 et 5, sont dits intérieurs d^un même côté, et les angles 2 et 7, 3 et 6, extérieurs d^un même côté.
59. Deux droites sont dites parallèles lorsque, étant situées dans un même plan, elles ne peuvent se rencontrer, si loin qu'on les prolonge.
THÉORÈiME.
60. Deux droites AC et BD perpendiculaires sur une troisième droite EF sont parallèles (Jig* 38).
Car, si elles se rencontraient, on pourrait de leur point d'intersection abaisser deux perpendiculaires
surEF(17).
Corollaire.
61. Par un point A, situé hors d'une ligne droite BC, on peut mener une parallèle à cette droite
Mg. 38.
Fig. 39.
Abaissons du point A la perpendiculaire AD sur BC,
et menons à AD la perpendiculaire AE. Les deux droites AE et BG, étant toutes deux perpendiculaires sur AD, sont parallèles.
ScOLIE.
62. Om ADMET que, par un point pris hors d'une ligne droite, on ne peut mener quune parallèle à cette droite. De là résultent les deux propositions suivantes :
63. Si une droite A en rencontre une autre B, elle rencontre toute parallèle C à cette autre; car si A était parallèle à C, du point de rencontre des droites A et B, on pourrait mener deux parallèles à C.
64. Deux droites A et B, parallèles à une troisième C, sont parallèles entre elles; car, si A et B se rencontraient, de leur point de concours on pourrait mener deux parallèles à C.
THÉORÈME
65. Lorsque deux droites AB et CD sont parallèles, toute droite^Y^ perpendiculaire sur l'une KR^ est perpendiculaire sur Vautre {fi g. 4o).
Fig. 4o.
D'abord la droite EF rencontre QD (63). Concevons par leur point d'intersection F la perpendiculaire à EF. Cette perpendiculaire, devant être parallèle à AB (60), coïncidera avec CD, puisque par le point F on ne peut
Uèle à AB. Donc, CD est perpendî inversement, EF est perpendiculaîri
souvent ce théorème d'une manier sant : Deux parallèles ont leur communes,
ix droites parallèles AB et CD son ne sécante EF {fig^ 40 • Iter nés-internes sont égaux; Iternes-ex ternes sont égaux; orrespondants sont égaux; itérieurs d'un même côté sont sup l en est de même des angles exté côté.
Fig. 4i.
O, milieu de la partie intermédiair menons sur les parallèles AB et CI ! commune IK; 01 tombera dan et OK dans Tangle aigu OHD (46) ctangles OGI, OHK, ont leurs hypo égales, puisque le point O est le mi igles aigus lOG, KOH, égaux comm imet : ils sont donc égaux (49, i**) el
par suite, les deux angles alternes-internes OGI, OHK, sont eux-mêmes égaux. Les deux autres angles alternesinternes BGH, GHG, sont aussi égaux comme suppléments des précédents.
2® Les quatre angles alternes-externes EGB et FHC, EGA et FHD, sont égaux deux à deux comme opposés par le sommet aux angles alternes-internes;
3** Les huit angles correspondants sont égaux deux à deux, Tun des angles du groupe considéré étant toujours opposé par le sommet à l'angle alterne -interne ou alterne-externe de l'autre ;
4® Les quatre angles intérieurs d'un même côté sont supplémentaires deux à deux, l'un des angles du groupe considéré étant toujours le supplément de l'angle qui est le correspondant de l'autre.
Les quatre angles extérieurs d'un même côté sont aussi supplémentaires deux à deux pour la même raison.
68. Réciproquement, deux droites AB et CD, étant coupées par une sécante EF, ces droites sont parallèles {fig' 4^) *.
Si les angles alternes-internes sont égaux ;
Ou, si les angles alternes-externes sont égaux;
Ou, si les angles correspondants sont égaux ;
Ou, si les angles intérieurs d^un même côté ou les angles extérieurs d'un même côté sont supplémentaires.
Il suffit d'établir cette réciproque dans le premier cas; car, si les angles alternes-externes sont égaux^ ou si les angles correspondants sont égaux, ou si les angles intérieurs ou extérieurs d'un même côté sont supplémentaires, l'égalité des angles alternes-internes en ré- R. et DE C. — Leçons, I. 4
5o DROITES PARALLÈLES .
suite immédiatement d'après ce qui précède (67, 2°, 3**,
Supposons donc {fig. 42) que lès deux angles alternes-internes HGA et GHD soient égaux, et conce-
vons par le point H la parallèle à AB. Celle parallèle doit, d'après la proposition directe, faire avec GH un angle égal à Tangle HGA et, par suite, à l'angle GHD; cette parallèle coïncide donc avec HD, et la droite CD est parallèle à AB.
ScOLIE.
69. La proposition directe et la proposition réciproque étant démontrées, les propositions contraires sont vraies par cela même. Ainsi :
Deux droites étant coupées par une sécante, si les angles formés ne satisfont pas aux relations qu'on a énoncées (68), les deux droites ne sont pas parallèles. En particulier :
Lorsque deux droites font a\^ec une transversale deux angles intérieurs d^un même côté dont la somme diffère de deux angles droits, ces droites se rencontrent du côté de la sécante où cette somme est inférieure à deux angles droits.
C'est l'axiome XI de la Géométrie d'Euclide ; on pré-
fère aujourd'hui prendre pour axiome la proposition énoncée au n° 62.
