Voici deux autres remarques souvent utiles

I** Deux droites {fig' 43), Vune AB perpendiculaire, et l^ autre CD oblique sur une troisième droite AC, doivent se rencontrer ; car la somme des deux angles intérieurs BAC, DCA, est moindre que deux angles droits.

2° Deux droites EF, GH (Jig- 44)? respectivement perpendiculaires à deux droites CA et CB qui se coupent, doivent se rencontrer; car, en menant la droite EG, on voit que chacun des angles intérieurs FEG, HGE, est moindre qu'un angle droit : la somme de ces angles est donc inférieure à deux angles droits.

THÉORÈME

71 . Deux parallèles AC, BD, comprises entre deux autres parallèles AB, CD, sont égales {fig* 45).

En effet, menons AD. Les deux triangles AJBD, ACD seront égaux comme ajant un côté commun AD adjacent à deux angles égaux chacun à chacun, savoir : l'angle BAD égal à l'angle ADC comme alternes-internes par rapport aux parallèles AB, CD, coupées par la se-

cante AD ; et l'angle ADB égal à l'angle DAC comme al ternes-internes par rapport aux parallèles AC, BD, cou pées par la même sécante. Donc le côté BD opposé l'angle BAD est égal au côté AC opposé à l'angle ADC

Fig. 4S.

Fig. 46.

Corollaire.

72. Si les deux lignes AC et BD {fig. 46) élaieni perpendiculaires sur AB et, par suite, sur CD (65), elles mesureraient les distances des points A et B de la droite AB à la droite CD. Ces deux distances étant égales comme parallèles comprises entre parallèles, et les deux points A et B étant pris d'une manière quelconque sur AB, on voit que deux parallèles sont partout également distantes.

THÉORÈME

73. Si, par le milieu D du côté AB d^un triangle ABC, on mène une parallèle DE au côté BC, elle passe par le milieu E du côté AC et est égale à la moitié du côté BC {fig- 47)»

Fig. 4?.

Menons par le point E, jusqu'à la rencontre d BC, la parallèle EF au côté AB.

Les deux triangles ADE, EFC sont égaux (34, i®). En effet, le côté EF étant égal à DB (71) est égal au côté AD. L'angle EFC est égal à l'angle ADE, puisque tous deux sont égaux à l'angle ABC comme correspondants (67, 3°) : le premier, par rapport aux parallèles EF, AB coupées par la sécante BC; le second, par rapport aux parallèles BC, DE coupées par la sécante AB. Enfin, les angles FEC, DAE sont égaux, comme correspondants par rapport aux parallèles EF, AB, coupées par la sécante AC.

Les deux triangles ADE, EFC étant égaux, on a AE = EC, et^le point E est le milieu de AC.

On a de même DE = FC et, comme BF est aussi égal à DE (71), le côté DE est la moitié de BC.

74. Réciproquement, la droite qui joint les milieux de deux côtés d^un triangle, est parallèle au troisième côté et égale à sa moitié.

En effet, d'après la proposition directe (73), la droite qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle ne fait qu'un avec la parallèle menée par l'un de ces milieux au troisième côté du triangle.

Exercices et problèmes.

1. Toute droite KL passant par le milieu M d'une droite AB, comprise entre deux parallèles et limitée elle-même à ces parallèles, a son milieu au même point M.

2. Si deux droites égales non parallèles AB, CD, comprises entre deux parallèles AC, BD, se coupent en un point (intérieur ou extérieur aux deux parallèles), on a AO = CO et OB = OD,

3. Trouver le lieu géométrique des milieux des portions de droites qui vont d'un point donné à une droite donnée.

k. On donne un angle ABC et un point dans cet angle. Mener par ce point une droite telle, que la partie MN interceptée par les côtés de l'angle ait pour milieu le point 0. ,

5. On donne un angle ABC, et l'on demande de déterminer sur son côté BC un point 0, également distant de l'autre côté AB et d'un point M marqué sur le premier côté BC.

6. On donne une portion de droite AB et^son milieu C. Par les points A, B, C, on mène dans une direction quelconque trois parallèles venant rencontrer une droite xy en D, E, F. Démontrer que la longueur CF est la demisomme ou la demi-différence des longueurs AD et BE, selon que les points A et B sont situés du même côté ou de c

7, lab et A prol tan(

D conî qui mie

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troîç côtés, est constante et égale à la hauteur du triangle (deuxième exercice de la huitième Leçon).

H. Lorsque le point O est extérieur au triangle équilatéral ABC, comn>ent la solution précédente se trouvet-elle modifiée ?

12. Étant donné un triangle isocèle ABC, on tire une droite quelconque BD de l'extrémité B de la base BC jusqu'au côté AC, et deux droites ME, MF, d'un point quelconque M de la base jusqu'aux côtés AB et AC, ces deux droites faisant avec BC, de part et d'autre du point M, un angle égal à celui que BD fait avec BC. Démontrer l'égalité BD = ME 4- MF,

ANGLES DONT LES CÔTÉS SONT RESPECTIVEMENT PARALLÈLES.... 5y

DEF, DHC sont égaux comme correspondants par rapport aux parallèles EF, HC, coupées par DH. Donc, l'angle ABC est égal à l'angle DEF.

2** Supposons que les côtés parallèles soient dirigés deux à deux en sens contraires. Soient, par exemple, les angles ABC, GEH ; BA et EH sont parallèles et dirigés, le premier de bas en haut, le deuxième de haut en bas; BG et EG sont parallèles et dirigés, l'un de gauche à droite, l'autre de droite à gauche : les deux angles considérés sont égaux.

En effet, en prolongeant les côtés de l'angle GEH au delà du sommet E, on forme un angle DEF égal d'une part à GEH comme oppose par le sommet, et d'autre part égal à ABC comme ayant ses côtés respectivement parallèles à ceux de ce dernier angle et dirigés dans le même sens.

3** Supposons enfin que deux côtés soient parallèles et de même sens, et les deux autres parallèles et de sens contraires. Soient, par exemple, les angles ABC, DEG ; BA et ED sont parallèles et dirigés l'un et l'autre de bas en haut, BC et EG sont parallèles et dirigés, le premier, de gauche à droite, le deuxième, de droite à gauche : les deux angles considérés sont supplémentaires.

En effet, en prolongeant GE au delà du sommet E, on forme un angle DEF, qui est, d'une part, le supplément de DEG, et qui est, d'autre part, égal à ABC comme ayant ses côtés respectivement parallèles à ceux de ce dernier angle et dirigés dans le même sens.

En résumé, deux angles qui ont leurs côtés parallèles sont égaux si les côtés parallèles sont dirigés deux à deux dans le même sens, ou encore si les côtés parallèles sont dirigés deux à deux en sens contraires ; ils sont supplémentaires si deux côtés