POINTS DE RENCONTRE REUARQUARLES DANS LE TRIANGLE

La droite EF est alors parallèle au côté BC et égale à sa moitié (74). Joignons dans le triangle BGG les milieux K et L des côtés GB et GG. La droite KL sera à son tour parallèle à BG et égale à sa moitié, c'est-à-dire égalé et parallèle à EF. Les deux triangles GEF, GKL auront, par suite, un côté égal adjacent à deux angles respectivement égaux comme alternes- in ternes, et seront eux-mêmes égaux. Il en résulte BK = KG = GE et CL = LG = GF. Le point de rencontre G est donc au tiers de BE à partir de E et au tiers de GF à partir de F.

La troisième médiane AD du triangle ABC devant, d'après cela, couper respectivement en son tiers, à partir du côté correspondant, chacune des deux autres médianes, passera au point G, et GD sera le tiers de AD.

THÉORÈME

92. Les trois bissectrices des angles d'un triangle concourent en un même point {fig^ 57),

Soit le triangle quelconque ABC. Menons les bissectrices des angles B et G. Ces bissectrices se coupent nécessairement en un point O {11, 70, 2°), qui est à la fois à égale distance des côtés BA et BC et à égale distance des côtés BC et CA (S6), c'est-à-dire à égale distance des trois côtés du triangle. Ce point O appartient donc aussi à la bissectrice de l'angle A.