QUINZIÈME LEÇON
Propriétés des parallélogrammes.
DÉFINITIONS
95. Parmi les quadrilatères convexes, on distingue : I** he parallélogramme {fig> Sg), qui a ses côtés
opposés parallèles deux à deux ;
2° Le rectangle {fig* 60), qui a tous ses angles
égaux entre eux : il résulte du n° 84 que les quatre
angles d'un rectangle sont droits;
Fig. 60.
Fig. 61.
Fig. 63.
Fig. 63.
3® Le losange {fig> 61), qui a tous ses côtés égaux entre eux : nous démontrerons dans cette leçon que le rectangle et le losange sont des parallélogrammes;
4® Le carré {fig> 62), qui a ses côtés égaux et ses
JETÉS DES PARALLËLOGRAMUES.
carré est à la fois un losange et un rec-
^fiS' ^^)î ^^^^ deux côtés opposés
parallèles. Le trapèze est rectangle
côtés non parallèles est perpendicu-
côlés parallèles; il est isocèle lorsque
m parallèles sont égaux.
THÉORÈME
parallélogramme :
oposés sont égaux deux à deux;
opposés sont égaux deux à deux:
rtales se coupent mutuellement en
aies,
logramme ABCD {fig» 64).
opposés quelconques AB et CD, par aux entre eux; car ce sont, par hypoites parallèles comprises entre deux rallèles AD et BC (71).
s opposés quelconques, DAB et BCD, t égaux entre eux; car ils sont formés 'allèles deux à deux et de sens con- IB et CD sont en eflFet parallèles et de X il en est de même de AD et de CB.
s diagonales AC et .BD est coupée par 0, en deux parties égales. En effet, les OB, DOC ont un côté égal adjacent à X, savoir : le côté AB égal au côté DC, osés du parallélogramme ; l'angle OAB D, comme alternes-internes par rapïles AB et CD coupées par AC; et il à l'angle ODC, comme ahernesort aux mêmes parallèles coupées par
TTr-n^^
PROPRIÉTÉS DES PARALLÉLOGRAMMES. y 5
BD; Les tt^iangles AOB, BOC sont donc égaux. Par suite, le c6lé OB, opposé à Tangle OAB, est égal au côté OD opposé à Tanglé OCD, et le côté OA opposé à l'angle OBA est égal au côté OG opposé à l'angle ODC.
Fig. 64.
Fig. 65.
Fig. 66.
THÉOREMJE. . . ,
97i ifn quadrilatère est un parallélogramme :
1° Si ses côtés opposés sont égaux deux à deux;
ft** Si ses angles opposés sont égaux deux à deux;
3® Si cieux côtés opposés sont à la fois égaux et parallèles;
4** Si ses diagonales se coupent mutuellement en deux parties égales f .
Soit le quadrilatère ABCD (yî^. 65).
i*^ Menons la diagonale AC. Les deù^ triangles ABC, ADG sont égaux comme ayant les trois côlés égaux, «savoir : AC commun, AB et CD égaui entre eux par hypothèse, ainsi qiie AD et BG. Par suite, Pângle BAC opposé là BG est égal' à l'angle ACD opposé à AD ; et comme ces angles occupent, par rapport aux deux droites AB ^l GD et à la sécante AC, la position d'all^rnés-internes, les deux côtés AB et CD sont paraîl-
)ES PARALLELOGRAMMES.
égalité des angles BCA et CAD des deux autres côtés AD et BG.
ABCD ayant ses côtés opposés est un parallélogramme, es A et G étant égaux entre eux, t D (^fig> 66), on voit que deux 3onques, B et G par exemple, ont loitié de la somme des angles du e à deux droits. Ces deux angles B ires, et, de plus, intérieurs d'un aux deux droites AB et GD cous droites sont parallèles (68). On que, les angles A et B étant supautres côtés opposés, AD etBG, idrilatère ABCD est donc un pales deux côtés opposés que l'on Hèles {^fig^ 65). En menant la e deux triangles ABG, ADG, qui pris entre deux côtés égaux, saà l'angle AGD, comme alternesux parallèles AB et GD coupées al au côté GD par hypothèse, et De l'égalité des triangles ABG, angles AGB et GAD; et comme îs-internes par rapport aux deux )ées par AG, ces mêmes droites adrilatère ABGD ayant ses côtés IL à deux est un parallélogramme, ose OA = OG et OB = OD AOB et GOD étant d'ailleurs , les deux triangles AOB, GOD, igle OAB est égal à l'angle OGD.
étant alternes-internes par rap-
PROPRIETES DES PARALLELOGRAMMES. 77
port aux droites AB et CD coupées par AC, les côtés opposés AB et CD sont parallèles. De l'égalité des triangles AOD, BOC, on déduirait pareillement l'égalité des angles OAD, OCB et, par suite, le parallélisme des deux autres côtés opposés AD et BG. Le quadrilatère ABCD, ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux, est donc un parallélogramme.
THÉORÈME
98. Tout rectangle est un parallélogramme dont les diagonales sont égales {fig> 67).
Fig. 67.
D'abord, tout rectangle est un parallélogramme, puisque ses angles opposés sont égaux (97, 2**). En second lieu, les deux triangles DAB, CBA, par exemple, sont égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux, savoir : l'angle droît DAB égal à l'angle droit CBA, le côté AB commun, et le côté AD égal au côté BC, comme côtés opposés d'un parallélogramme; donc, les diagonales AC et BD, hypoténuses des triangles rectangles égaux DAB, CBA, sont égales.
99. Réciproquement, tout parallélogramme dont les diagonales sont égales est un rectangle {fig- 67). Car les triangles DAB, CBA, sont alors égaux comme ayant leurs trois côtés égaux : donc, l'angle DAB est égal à l'angle CBA, et comme chacun d'eux est égal à son opposé (96, 2**), on voit que le parallélogramme considéré a tous ses angles égaux et, par suite, est un rectangle.
