PROPRIÉTÉS DES PARALLÉLOGRAMMES
la fois médiane et bissectrice dans les triangles BAD et BCD qui sont alors isocèles (voir le 2® Exercice de la neuvième Leçon). Les quatre côtés du parallélogramme ABCD sont donc encore égaux.
ScOLIE.
102. Tout carré est un parallélogramme dont les diagonales sont égales, perpendiculaires entre elles et bissectrices des angles opposés; réciproquement, tout parallélogramme est un carré lorsque ses diagonales sont : i^ égales et perpendiculaires, entre elles; 2® égales, Vune déciles étant en outre la bissectrice des angles dont elle unit les sommets.
Le carré étant à la fois un rectangle et un losange (95, 4**), cet énoncé est évident d'après les propositions démontrées du n" 98 au n® 101.
Exercices et problèmes.
1. Deux quadrilatères convexes sont égaux lorsqu'ils ont un angle égal et leurs quatre côtés égaux chacun à chacun el disposés de la même manière.
Enoncer le théorème correspondant pour deux parallélogrammes, deux rectangles, deux losanges ou deux carrés.
2. Toute droite comprise entre deux côtés opposés d'un parallélogramme et passant par le point d'intersection de ses diagonales (c'est-à-dire par ce qu'on appelle le centre du parallélogramme), est divisée par ce point en deux parties égales et partage elle-même le parallélogramme en deux quadrilatères égaux.
!S PARALLELOGRAMMES.
Il la moitié du parallélogramme int par les extrémités de chaque e des parallèles à Tautre dia-
sition précédente que deux quace lorsque leurs diagonales sont e èoupent sous le même angle.
nent successivement les milieux 'e quelconque forment un paral-
irement, mais de la même maé, et en joignant successivement [ forme un nouveau carré inscrit
Iconque de la base d^un triangle allèles aux deux autres côtés du allélogramme dont le périmètre
socèle, les angles opposés sont
Jlélogramme ABCD, on prend en es opposés AB, CD, deux lonlires mais égales; de même, sur G, on prend en sens inverse les s égales AH et CG.
Lrer que : i° la figure EGFH est it dans le parallélogramme proillélogramme donné est en même parallélogrammes qu'on peut y
ntre O des droites qui joignent s côtés opposés d'un quadrilatère I milieu de la droite qui unit les onales AC et BD de ce quadri-
PROPRIÉTÉS DES PARALLÉLOGRAMMES. 8l
11. ABCD étant un parallélogramme, E et F les milieux des côtés opposés AB et CD, les droites DE et BF, qui coupent la diagonale AC en G et en H, la divisent en ces points en trois parties égales.
12. Étant donnés deux parallèles XY et X'Y' et deux points A et B situés hors de ces parallèles et de côtés différents, on demande de trouver le plus court chemin de A en B par une ligne brisée telle que la portion MN comprise entre les deux parallèles ait une direction déterminée.
13. Les bissectrices des angles d'un parallélogramme forment un rectangle dont les diagonales sont parallèles aux côtés du parallélogramme et égales à la différence de ses côtés adjacents. — Lorsque le premier quadrilatère est un rectangle, le second est un carré.
14. On donne un triangle ABC et ses médianes BE, CD. On tire alors DF parallèle à BE et EF parallèle à AB, jusqu'à leur rencontre en F, et Ton joint CF. Démontrer que les trois côtés du triangle CDF représentent les trois médianes du triangle ABC.
15. D'un triangle isocèle ABC, détacher un trapèze BCDE qui, ayant l'une de ses bases égale à celle du triangle, ait ses trois autres côtés égaux entre eux.
16. Dans tout trapèze, les quatre points milieux des deux côtés non parallèles et des deux diagonales sont sur une même droite parallèle aux deux bases du trapèze; la distance des points extrêmes est égale à la demi-somme de ces bases, la distance des points intermédiaires est égale à leur demi-différence.
17. ABCD étant un paralléfogramme, on mène par le sommet A une droite quelconque XY. Démontrer que la distance du sommet C à cette droite est la somme ou la différence des distances des sommets B et D à cette même droite, suivant qu'elle tombe en dehors ou en dedans du parallélogramme.
R. et DE C. — Leçons, I.
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Deux figures sont symétriques par rapport à un point O, lorsque tout point de chacune de ces figures a son symétrique sur l'autre. Le point O prend le nom de centre de symétrie. Les points symétriques des deux figures sont dits homologues.
THÉORÈME
