ABC

us {fig* n8), la perpendilans l'angle B, mais dans sou ' que le problème soit posle l'arc de cercle coupe la 1 faut que le côté b soit plus 1 pouvait prévoir, car dans 1 angle doit être opposé le

PROBLÈMES ÉLÉMENTAIRES. l49

plus grand côté. D'ailleurs, lorsque cette condition est remplie, les deux points d'intersection A et A' sont de part et d'autre de B; le triangle A'BC doit être rejeté, car son angle en B est le supplément de l'angle donné, et il n'y a qu'une solution : c'est le triangle ABC.

Eig. ii8.

3^ L'angle B étant droit, le problème est impossible si h est inférieur ou égal à <z; il admet une solution unique si h est supérieur à a.

La discussion est résumée dans le Tableau suivant :

[ h < CD problème impossible,

^ . 1 ^ = CD. . une solution,

D 3I£rU {

^ )a>^> CD . . . deux solutions,

\^ = aou>a... une solution.

„- . - l6<aou = «... problème impossible,

B droit ou obtus. } , i .•

( £> > a une solution.

Ainsi, lorsque b est supérieur à a, le problème a toujours une solution et une seule; en d'autres termes, on peut toujours construire un triangle, et un seul, connaissant deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux, pourvu que l'angle donné soit opposé au plus grand des deux côtés donnés. De là ce théorème :

Deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont deux côtés égaux chacun à chacun, ainsi que V angle opposé au plus grand de ces deux côtés.

l5o PROBLÈMES ÉLÉMENTAIRES.

187. Construire un triangle connaissant les trois côtés a, 6, c.

Tracez ( fig, 1 19) une droite BC égale à a, c'est-à-dire

Fig. 119.

au plus grand des côtés donnés. Du point C comme centre, avec une ouverture de compas égale à 6, décrivez, au-dessus de BC, un arc de cercle; du point B comme centre, avec une ouverture de compas égale à c, décrivez au-dessus de BC un autre arc de cercle. Enjoignant aux points B et C le point d'intersection A de ces deux arcs, vous aurez le triangle demandé ABC.

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que les deux arcs de cercle se coupent, c'est-à-dire (156, 3**) que le plus grand côté a, qui est la distance des centres, soit moindre que la somme et plus grand que la différence des deux autres côtés 6 et c qui sont les rayons. Ce résultat est conforme à la remarque du n«39.

Exercices et problèmes.

1. D'un point donné A, tirer trois droites de longueurs données M, IN, P, telles que leurs extrémités soient sur une mêrtie droite et déterminent des distances égales.

2. Construire un triangle ABC, connaissant deux côtés AB et AC et une médiane (deux cas à considérer).

PROBLEMES ÉLÉMENTAIRES. l5l

3. Construire un triangle ABC, connaissant un côté BC et deux médianes (deux cas à considérer).

4. Construire un triangle ABC, connaissant ses trois médianes.

5. Construire un triangle ABC, connaissant un angle, le côté opposé et la somme des deux autres côtés.

6. Construire un triangle ABC, connaissant un angle, le côté opposé et la différence des deux autres côtés.

7. Construire un triangle ABC, connaissant un angle, Tun des côtés adjacents et la somme des deux autres côtés.

8. Construire un triangle ABC, connaissant un angle, Tun des côtés adjacents et la différence des deux autres côtés.

9. Construire un triangle ABC, connaissant un côté, Tun des angles adjacents et la longueur de sa bissectrice.

10. Construire un triangle ABC, connaissani ses trois angles et son périnaètre.

11. Construire un triangle ABC, connaissant ses trois angles et la somme de deux quelconques de ses côtés.

12. Construire un parallélogramme ABGD, connaissant ses diagonales et l'angle qu'elles forment.

13. Construire un triangle ABC, connaissant un angle, la longueur de sa bissectrice et la hauteur issue du même somme.

H. Une droite PQ de longueur donnée se meut entre les côtés d'un angle quelconque ûcAy, en s'appuyant constan\ment sur eux. Dans chaque position de PQ, les perpendiculaires menées en P sur Aœ et en Q sur A y se coupent en un point R, tandis que les perpendiculaires abaissées de P sur Ay et de Q sur Ao? se coupent en un point S. Démontrer que le lieu du point R et celui du point S, quand PQ occupe toutes les positions possibles, sont des cercles ayant A pour centre commun.

l52 PROBLÈMES ÉLÉMENTAIRES.

YINGT-SEPTIÈME LEÇON.

PROBLÈMES ÉLÉMENTAIRES

(suite).

s parallèles et des perpendiculaires.

un point donné A, pris hors d^une mener une parallèle à cette droite

Fig. 120.

BC et la parallèle cherchée AD doivent avec une sécante quelconque AC issue leux angles alternes-internes DAG, ACB, ux. De cette considération et de la solulème du n^ 178, résulte la construction

V comme centre, avec une ouverture de [•aire, mais assez grande, décrivez un arc 1; du point G, avec la même ouverture, îcond arc de cercle AB, qui passera néces- ' A. Prenez avec le compas la longueur de et du point G comme centre, avec cette îcrivez un arc de cercle qui coupe en D

PROBLÈMES ÉLÉMENTAIRES

l'arc DC. En tirant AD, vous aurez la parallèle demandée.

Il est clair, en effet, qu'on a construit de cette façon un angle DAC égal à AGB. Il est inutile de tracer la droite AC, qui ne sert que dans la démonstration.

On a vu (119) comment l'équerre permettait de tracer rapidement, par un point donné, une parallèle à une droite donnée. Il est inutile de faire ressortir la supériorité de ce procédé.