Mener une perpendiculaire sur une droite en son milieu

Soient {fig> 12 1) A et B deux points donnés; il s'agit de mener une perpendiculaire sur le milieu de la droite qui joint ces deux points.

La perpendiculaire sur le milieu d'une droite étant le lieu des points équidistants des extrémités de cette droite (S3), il suffît d'obtenir deux points qui soient chacun également distants de A et de B, puis de joindre ces deux points. De là cette construction :

Fig. 121.

Du point A comme centre, avec un rayon sensiblement plus grand que la moitié de AB, décrivez une cir-

fTAIRES.

centre, avec la même de circonférence; ces )nt, puisque, les deux nt la moitié de AB, la mprise entre la somme lacun des deux points istant de A et de B ; et, )endiculaire demandée, it pas les cercles comx: petits arcs de chacun dans la région où l'on ^oirlieu(^^. 122). Ce roite AB soit tracée.

IX suivants :

ix parties égales;

,e droite donnée pour

réduit, en effet, à la 3, qui est le centre du

"i ou un angle ^c

sait que la perp 1 corde divise I ppliquera donc O de Tare est d int équidistant

. Du point O !, on décrira un droite OE qui

PROBLEMES ELEMENTAIRES.

cel arc en deux parties égales sera évidemment la bissectrice de l'angle AOB.

En appliquant ce procédé aux deux moitiés, aux quatre quarts, etc., de Tare, on divisera l'arc et l'angle eii 4î 8, etc. parties égales.

Fig. 124.

191. 11 peut arriver que le sommet de l'angle sorte de la feuille de dessin; en d'autres termes, on a besoin parfois de trouver la bissectrice de Van g le formé par deux droites AB et CD qu^on ne peut pas prolonger jusqu'à leur point d"* intersection.

On mène {fig. 124) une perpendiculaire quelconque EP sur AB et une perpendiculaire quelconque FQ sur CD. Sur ces perpendiculaires, on prend deux longueurs égales HF et GE; puis, par H, on mène une parallèle à CD, et, par G, une parallèle à AB; le point de rencontre M de ces deux lignes est un point de la bissectrice cherchée. En effet, ce point M est (S6) à des distances égales GE et HF des deux droites proposées. En prenant deux autres longueurs égales surEP et FQ, on obtiendrait un second point M' de la bissectrice, et il ne resterait plus qu'à tirer MM'.

192. Mener par un point donné C une perpendiculaire sur une droite donnée AB.

1 56 PROBLÈMES ÉLÉMENTAIRES-

11 y a deux cas â distinguer :

i*» Le point donné C est sur la droite AB {Jig. laS). En prenant de part et d'autre de G deux longueurs égales GA et GB sur la droite donnée, le problème est ramené à celui du n® 189. Seulement, ici, la droite AB est tracée, et l'on connaît son milieu, de sorte qu'il suffit de trouver un seul point D de la perpendiculaire. De là cette construction :

Avec une ouverture de compas arbitraire, mais assez grande, prenez sur la droite donnée, et à partir du point G, deux distances égales GA et CB. Ouvrez davantage le compas, et des points A et B comme centres décrivez successivement, avec cette nouvelle ouverture, deux petits arcs de cercle au-dessus de AB. Enjoignant au point G le point D d'intersection de ces arcs, vous aurez la perpendiculaire cherchée.

Fig. 125. Fig. 126.

2® Le point G est hors de la droite AB ^^fig» 126). En traçant, du point G comme centre, un arc de cercle qui coupe la droite AB en deux points A et B, on est ramené au problème du n*^ 189, avec cette différence qu'on connaît déjà un point G de la perpendiculaire et qu'il suffit d'en trouver un second. De là la construction suivante :

Du point G comme centre, avec un rayon assez grand, décrivez un arc de cercle qui coupe la droite

PROBLÈMES ÉLÉMENTAIRES. 167

donnée en deux points A et B. De ces points comme centres, avec une ouverture de compas sensiblement plus grande que la moitié de AB, décrivez successivement deux petits arcs de cercle au-dessous de AB. En joignant au point C le point E où ces arcs se coupent, vous aurez la perpendiculaire demandée.

. 193. En bonne construction, on ne doit jamais se servir directement de Téquerre pour le dessin des perpendiculaires (118). Toutefois, il est un cas très fréquent dans la pratique où l'emploi, en quelque sorte indirect, de cet instrument fournit d'excellents résultats : c'est celui où l'on doit mener sur une droite des perpendiculaires par plusieurs points. On commence par tracer avec soin l'une de ces perpendiculaires à l'aide du compas, puis on lui mène à l'équerre des parallèles par les autres points. On opère de même lorsqu'on veut élever une perpendiculaire à V extrémité d^une droite qu'on ne pçut prolonger ; on trace à l'équerre, par ce point extrême, une parallèle à une perpendiculaire que l'on a préalablement menée sur cette droite en un autre point à Taide de la règle et du compas.

Exercices et problèmes.

1. Construire un triangle ABC, connaissant l'angle A, la longueur de sa bissectrice et l'une des hauteurs opposées à l'angle A.