CHAPITRE II

DE LA CIRCONFÉRENCE

§. I. Propriétés générales de la circonférence.

16. Nous avons vu au n° 21 ce qu’on entendait par les mots circonférence, rayon, diamètre et arc.

Nous appellerons coude ou sous-tendante d’un Fig. 21. arc la droite qui unit ses extrémités. À B est la corde de l’arc A MB.

Théorème I.

76. Deux circonférences décrites avec le même rayon sont égales.

Car si l’on place le plan de la seconde circonférence sur celui de la première, de manière toutefois que les deux centres ne fassent qu’un seul point, les deux circonférences coïncideront, sans quoi tous leurs points ne seraient pas également éloignés du centre. Les cercles de même rayon sont donc aussi égaux (21).

Théorème II.

77. Le diamètre est ta plus grande des cordes que l'on puisse tirer d'un point de la circonférence a un autre.

Considérons, en effet, la corde AB et le diamètre AC issus du même point A de la circonférence, et joignons le point B avec le centre O. La corde AB est évidemment plus petite que la brisée AOB; mais celle-ci est égale à AC, car l’une et l’autre sont la somme de deux rayons : donc la corde AB est plus courte que le diamètre AC.

DE LA CIRCONFÉRENCE. 31

Théorème 111.

7 0. Tout diamètre divise la circonférence en deux parties égales.

Si l’on plie, en effet, la figure le long du diamètre AC, il faudra nécessairement que tous les points de l’arc ANC viennent se placer sur ceux de A MC, sans quoi tous les points de la circonférence ne seraient pas également éloignés du centre O, puisque dans le mouvement de l’arc ANC leur distance à ce centre n’a point pu varier.

Théorème IV.

79. Trois points A , B, C qui ne sont pas en ligne Fig. 22. droite déterminent une circonférence.

Il s’agit de démontrer que par ces trois points on peut faire passer une circonférence, mais qu’on ne peut en faire passer qu’une.

Pour le prouver, je joins AB et BC ; puis j’élève sur ces droites, et par leurs milieux, les perpendiculaires respectives DE et FG, et je dis que ces perpendiculaires se rencontreront. En effet, si elles ne se rencontraient pas, elles seraient parallèles (62) : donc AB, qui est perpendiculaire sur DE, le serait aussi sur F G (66); mais déjà BC est perpendiculaire sur FG : donc il y aurait deux perpendiculaires AB et BC abaissées du même point B sur la même droite FG, ce qui est absurde (60), puisque les trois points A, B, C, n’étant pas en ligne droite, AB et-BC sont deux droites distinctes. DE et F G se rencontreront doue en un certain point O. Or ce point , appartenant à la perpendiculaire DE, élevée sur le milieu de AB, est également éloigné de ses extrémités A et B (66); comme appartenant à FG, il est équidistant de B et de C : donc les trois distances OA, ÜB et OC sont égales; donc la circonférence décrite du pointücomine centre avec le rayon OA, passera par les trois points A, B ; C.

Remarquez que la perpendiculaire élevée au milieu de AC passerait par le point de section ü des deux autres (89).

Concluons que l’on peut toujours décrire une circonférence par trois points qui ne sont pas situés eu ligne droite. Je dis de plus qu’on ne peut en faire passer qu’une.

Supposons, en effet, qu’on puisse faire passer une seconde circonférence par les trois points A, B, C. Sou centre sera nécessairement sur la perpendiculaire DE, sans quoi il ne serait pas également distant des points A et lî (88). Par la même raison, il doit se trouver sur la perpendiculaire F G : donc il ne peut se trouver qu’à leur point de section O; donc la seconde circonférence a ie même centre et le même rayon que la première; donc elle coïncide avec elle ; donc il n’y a qu’une circonférence qui puisse passer par les trois points A, B, C; donc trois points qui ne sont pas en ligne droite déterminent une circonférence.

80. SenoLiF.. Si les trois points A, B, C, étaient en ligne droite, les deux perpendiculaires DE et FG seraient parallèles ( 61 ), et ainsi elles ne se rencontreraient pas. Or nous avons prouvé tout à l’heure que le centre de la circonférence qui passerait par les trois points A , B, G, devait se trouver à la fois sur les deux perpendiculaires DE et FG : donc il est impossible qu’une circonférence puisse être coupée en plus île deux points par une ligne droite ; et en effet, si la chose était possible, ou n’aurait qu’à joindre trois de ces points avec le centre, et l’on aurait ainsi trois droites égales menées d’un même point à une même droite, ce, qui est absurde (87).

Théorème V.

g. 23. 81 . La perpendiculaire O M , abaissée du centre

O d’une circonférence sur une corde quelconque AB, divise celte corde et les arcs sous-tendus } chacun en deux parties égales.

DE I.A CIRCONFÉRENCE

Joignons en effet OA et OB : ces deux droites seront égales comme rayons, et partant obliques sur AB (<50 et U2) : donc elles s’écartent également du pied I de la perpendiculaire OM (o5) : donc ce pied est le milieu de AB.

Si maintenant on plie la figure le long du diamètre M'OM, les deux demi-circonférences se recouvriront; mais, à cause de l’égalité des angles OIB et OIA, le côté IB doit aller se placer sur le côté I A ; et comme ,

IB = I A , le point B tombera sur le point A : donc les arcs BM et AM se recouvriront, ainsi que les arcs BM' et AM'; donc ces arcs sont égaux.

82. Schome. La perpendiculaire abaissée du centre d’un cercle sur une corde satisfait donc aux cinq conditions suivantes : \° passer par le centre ; 2° être perpendiculaire h la corde; 3 ° passer par son milieu;

4° et 5° passer par les milieux des deux arcs souslerulus par cette corde. Or nous avons vu aux n 0 ’ 10 cl 50 que deux quelconques «le ces conditions suffisent pour déterminer une droite : donc toute droite qui satisfera a ces deux conditions satisfera aussi aux trois autres. Ainsi, par exemple, la PF.RPKiXDicm.A!RE élevée sur le u i lieu d'une corde passe par le centre et parles milieux des arcs sous-tendus par cette corde.