Tous les angles d/oits sont égaux entre eux

Soient OC perpendiculaire sur A B, et O'C' perpeu- l'ig. 10.

diculairc aussi sur A'B' ; je dis que les angles droits C'O'A' et C'O B' sont égaux aux angles droits CO A et COB. Marquons, en effet, sur le côté AO le point quelconque D, et prenons sur O'A' la distance 0'1)'=

(01). Supposons, maintenant que l’on porte la ligure C'A'B' sur la figure CAB, en plaçant les points O' et D'respectivement sur les points correspondants O et 1), ce qui est possible, puisque O l)'=OD ; les deux droites A'B' et AB coïncideront alors dans toute leur étendue (9), et par conséquent OC' tombera sur OC, sans quoi on aurait par le même point O deux perpendiculaires sur AB, ce qui ne se peut (3(i). Donc les angles C'O'A' et C O B' recouvriront parfaitement les angles respectifs COA et COB : donc ces angles sont égaux ; mais ils sont droits : donc les angles droits sont égaux.

58. On appelle angle aigu tout angle moindre qu’un droit, et tout angle plus grand qu’un droit se nomme angle obtus. Ainsi dans la fig. y, où OD est perpendiculaire sur AB, l’angle COB est un angle obtus, et COA est un angle aigu.

TuéonèsiE IV.

39. Lorsqu'une divile OC en rencontre une autre Fig- 9. A B , la somme des deux angles adjacents COA et COB est égale a deux angles droits.

Elevons par le point O la perpendiculaire OD sur AB, ce qui formera les deux angles droits DOA et DOB.

Cela posé, l’angle COB se compose des angles COD et l)OB : doue la somme des deux angles AOC et COB

sera celle même des trois angles A OC, COI) et DUB. Mais les deux premiers réunis forment l’angle droit AOl), le troisième DO B est aussi droit : donc enfin la somme des deux angles A OC et COB est égale à celle des deux angles droits AOD et DOB, et par conséquent à celle de deux angles droits quelconques (37).

40 . Corollaire i. Si l’un des angles CO A et COB est droit, l’autre l’est aussi.

41 . Corollaire i i. Si une (Imite OD est perpendiculaire sur une autre AB, réciproquement celle seconde sera perpendiculaire sur la première.

En effet, prolongeons OD au-dessous de AB, l’angle AOD est droit par hypothèse (33) : donc son adjacent AOF l’est aussi; donc AO forme avec DF deux angles adjacents égaux AOD et AOF (37); donc AO est perpendiculaire sur DF.

42 . Corollaire iii. Puisque l’angle AOF est droit, son adjacent FOB l’est aussi : donc OF est perpendiculaire sur AB; donc lorsqu’une (Imite Ol) est perpendiculaire sur une autre AB, son prolongement O F l’est aussi.

ig. 11. 43. Corollaire iv. La somme de tous les angles

I O A , A O B , B O C , formés autour d’un meme point et du même coté cl’une droite I C , est égale à deux droits : car leur somme est la même que celle des deux angles adjacents 10B et B OC.

44. Corollaire v. La somme de tous les angles AO B, B OC, COD, D O A , formés autour d’un même point O, est égale a quatre droits. Prolongeons en effet CO en OI, il est évident, d’après le corollaire précédent, que la somme desanglcsIOA -+- AOB + BOC 4- COD -f- DOl est égale à quatre droits. Mais IO A + D OI = AOD : donc , etc.

43. Lorsque la somme de deux angles est égale à deux angles droits, on dit que chacun d’eux aile supplément de l’autre , on que ces angles sont supplémentaires. On voit que deux angles qui ont le même sup-

plément sont égaux, puisqu’on leur ajoutant un môme angle ou obtient la même somme, deux angles droits.

4 <>. I .orsque la somme de deux angles est égale à un angle droit , on dit que chacun d’eux est le complément de l’autre , ou que ces angles sont complémentaires. On voit que deux angles qui ont le même complément sont égaux.

TflfÇoUÈMK Y.

47. Si deux angles adjacents CO A et COB sont Fig. 9. supplémentaires , les cotés extérieurs A O et 0 15 sont en ligne droite.

En effet, si O B 11’est pas le prolongement de AO, nous pourrons prolonger celle-ci en OG, et alors, la ligne AO G étant droite, l’angle COG sera le supplément de CO A (30); mais l’angle COB est aussi, par hypothèse, le supplément de COA; donc COG =

COB (43), ce qui est absurde : donc on ne pouvait pas supposer que O B ne fût pas le prolongement de AO; donc AOB est une ligne droite.

41). ScTioi.it. Lorsque deux propositions sont telles que, le sujet étant le même , l’hypothèse que l’on fait dans l’une est précisément le jugement cjue l’on porte dans l’autre, et vice versa , on dit que l’une est la réciproque de l’autre. Ainsi la proposition précédente est la réciproque de celle du n° 51) : car dans toutes deux la droite OC, qui concourt à former les angles COA et COB, est le sujet; l’hypothèse et le jugement de la proposition du n° 51) sont respectivement : AOB est une ligne droite , et CO A COB égale deux droits ;

tandis que l’hypothèse et le jugement de celle du u° 47 sont au contraire : COA + COB égale deux droits , r/ AOB est une ligne droite.

La plupart des réciproques peuvent se démontrer par la réduction à l'absurde de la manière suivante : Exécutez une construction qui réalise l' hypothèse de la proposition directe ; appliquez alors cette proposition , et comparez le jugement qui en résulte a l'hy-

pothese de voire réciproque. Si le résultat de cette comparaison est absurde , votre réciproque est vraie.

Ainsi dans la démonstration du n° 47 nous avons prolonge AO en O G, ce qui a réalisé l’hypothèse de la proposition directe : car nous avons eu ainsi une droite OC rencontrant une autre droite AOG; nous avons alors appliqué la proposition directe, en disant que COG est le supplément de CO A ; nous avons comparé ce jugement à l'hypothèse de notre réciproque , savoir : COR est le supplément de COA, et nom* on avons conclu que CO R = C OG , ce qui est absurde. Notre réciproque est donc vraie.

TriÉORRSIE VI.

Fig. \. 49. lorsque deux droites A R cl C I) se coupent,

les angles opposés par le sommet , tels que A OC et ROD, sont égaux.

Fai effet, puisque AORcst une ligne droite, l’angle COR est le supplément de COA; de même, puisque COI) est une ligne droite, l’angle COR est aussi le supplément de ROD; donc les deux angles COA et BOD, qui ont le même supplément sont égaux.

Théorème VII.

i»0. Par un point donné on peut mener une perpendiculaire. <i une droite donnée , mais on ne peut lui en mener qu’une seule.

11 peut arriver deux cas, selon que le point donné est situé sur la droite donnée, ou hors de cette droite. Le premier cas a été démontré aux n“ 5 36 et 42; occupons-nous donc du second.

Fig. 12. Je suppose que le point C soit pris hors de la droite AR, et je dis d’abord que de ce point on peut abaisser une perpendiculaire sur cette droite. Pour le prouver, je fais tourner la partie supérieure du plan autour de A R comme charnière, jusqu’à ce que le point C soit venu se placer quelque part en C' sur sa partie inférieure; je joins CC' et soit 1) le point où cette droite

coupe AB. Si l’on replie île nouveau la figure le long de AB, le point D restera immobile, et ainsi l’angle CDA recouvrira C/DA; donc AB est perpendiculaire sur CC', et réciproquement CC' est perpendiculaire sur AB (41).

Supposons maintenant qu’on puisse ^baisser du point G une seconde perpendiculaire CI sur AB ! si l’on fait tourner la partie supérieure du plan autour de AB, CI viendra se rabattre sur C'I, donc l’angle C'ID est droit comme son égal CID; mais ces deux angles sont adjacents, donc leurs côtés extérieurs CI w et IC' sont en ligue droite; donc on a, du point C au point C', deux lignes droites distinctes, ce qui est absurde (7); donc il n’est pas possible d’abaisser du point C deux perpendiculaires sur AB.

*îl. On dit qu 'une limite est oblique h une autre lorsqu’elle la rencontre sans lui être perpendiculaire 11 suit du numéro précédent «pie si d’un point C or. abaisse une perpendiculaire CD sur AB, toute droite telle que CI , qui, partant du point C, ira rencontrer AB, sera oblique à celle-ci.

Théorème "VIII.

iî2. Lorsqu’une perpendiculaire CD et une oblique CI à une droite AB, partent du même point C, la perpendiculaire est plus courte que l'oblique.

lin effet, faisons tourner la partie supérieure du plan autour de AB comme charnière, jusqu’à ce que le pointC vienne se placer quelque part en C' sur sa partie inférieure; joignons C'D et CI : ces droites seront les rabattements de CD et de CI, et ainsi leur seront égales; de plus, CDC' sera une ligne droite, puisque les-auglcs CDIet C'DI sont droits (47), donc CDC' est plus petite que la ligne brisée GIC'; donc CD, moitié de CDC', est moindre que CI, moitié de CIC'; ce qu’il fallait démontrer.

ü3. Corollaire i. La perpendiculaire , étant la vins courte (le toutes les lignes que l'on peut mener

d'un point h une droite, est la mesure naturelle de la distance de ce. point a cette droite.

34. Corollaire ii. Lorsqu’ une droite est la plus courte que l’on puisse mener d’un point h une droite, elle lui est perpendiculaire , sans quoi elle ne serait pas la plus courte.

Théorème IX.

66. Si une perpendiculaire CD et différentes obliques C A, C15, CI, h une droite AB, partent d'un même point C situé hors de celte droite , 1° les obliques qui s’écartent également du pied de. la perpendiculaire sont égales ; 2° de deux obliques qui s’écartent inégalement du pied de la perpendiculaire , celle qui s’en éloigne le plus est la plus longue.

1° Soit D A = DB , je dis que C A = CB. Plions en effet la figure le long de CD : il est clair que le segment DA viendra tomber sur DD, puisque les angles CDA et CDD, étant égaux (315), sont superposables; et, comme DA = DB, le point A viendra se placer sur le * point B; la droite C A , ayant ainsi ses deux extrémités

confondues avec celles de CB, coïncidera avec elle dans toute son étendue : donc ces deux droites sont égales.

2° Supposons DI>DA, je dis que CI est>CA.

Plions en effet la figure le long de AD et soient C'D , C'A et C'I, les rabattements respectifs de CD, CA et Cl : CDC' sera une ligne droite, et l’on aura C A —CA, et C'I — CI. Mais la ligne brisée CIC' est plus grande que la brisée CAC' qu’elle enveloppe (31); donc CI, moitié de CIC', est plus grande que CA, moitié de CAC', Donc de deux obliques qui s’écartent inégalement du pied de la perpendiculaire, celle qui s’en éloigne le plus est la plus longue.

36. Corollaire i. Réciproquement, deux obliques égales s’écartent également du pied de la perpendiculaire, sans quoi l’une serait plus longue que l’autre; et de deux obliques inégales , la plus longue est la

plus éloignée du pied de In perpendiculaire , sans quoi elle serait ou égale à l’autre ou moindre quelle.

57. Corollaire n. U 'un point donné on ne peut pas mener a une même ligne d/vite trois droites égales. En effet , si de ce point on abaisse une perpendiculaire sur cette droite , il pourra arriver trois cas : 1° ou la perpendiculaire coïncidera avec une des trois droites, et alors celle-ci sera plus petite que les deux autres; 2° ou elle en laissera deux d’un même côté, et ces deux-là seront inégales; 3° ou elle les laissera toutes les trois d’un même côté, et ainsi elles seront toutes les trois inégales.

Théorème X.

58. Tout point M situé sur la perpendiculaire C I) élevée sur une droite A B par son milieu D , est également distant des extrémités Art B de. cette droite ; et tout point E situé hors de celte perpendiculaire est inégalement distant de ces mêmes extrémités.

1“ Puisque le point D est le milieu de AB, les obliques M A et MB s’écartent également du pied de la perpendiculaire MD : donc elles sont égales.

2° Tirons du point E les droites EA et EB aux points A et B, et soit M le point où la seconde coupe la perpendiculaire CD : ce point sera donc équidistant de A et de B; de sorte que si l’on joint MB, on aura MA=MB. Or, la droite BE est plus courte que la ligne brisée EM B (7) , et partant que son égale EMA : donc tout point situé hors de la perpendiculaire CD est inégalement distant des points A et B.

59. Corollaire t. Il suit de là que la perpendiculaire elevèe sur une droite par son milieu passe par tous les points équidistants des extrémités de cette . droite : car tous les points de cette perpendiculaire sont également éloignés des deux extrémités de la droite,

et ces points sont les seuls du plan qui jouissent de cette propriété. En conséquence, on dit que le lieu géométrique de forts les points équidistants de deux points

21 LEÇONS DE GÉOMÉTME.

donnés est la perpendiculaire élevée sur le milieu de la d/vite gui joint ces deux points.

60. Corollaire il. Il suit de ce corollaire et du principe du n° 9 que si une droite CC' passe par deux points C et C équidistants des extrémités À et B d’une autre d toile AB, elle sera perpendiculaire sur le milieu de cette autre : car, si par le milieu de A B on élève une perpendiculaire à cette droite, elle passera par tous les points équidistants de ses extrémités A cl B, et par conséquent par les points C et G' : donc clic aura deux points communs avec la droite CC' ; donc elle coïncidera avec cette droite; donc CC' est elle-même cette perpendiculaire élevée sur le milieu de A B.

§. III. Des parallèles.

Théorème XI.

Fig. 13. 61. Deux perpendiculaires AB, CD h une même

droite F G ne peuvent jamais se rencontrer, a quelque distance qu’on les prolonge.

Car si elles se rencontraient, on pourrait de leur point d’intersection abaisser deux perpendiculaires sur la même droite F G, ce qui est absurde (i*0). Deux pareilles droites sont dites parallèles.

62. On appelle donc parallèles deux droites qui, situées sur un même plan , ne peuvent pas se rencontrer à quelque distance qu’on les prolonge : ainsi deux perpendiculaires à une même droitesont parallèles.

65- La théorie des parallèles repose sur la proposition suivante, qui est connue sous le nom de Postulatum c/’Euclide et que nous admettrons comme une vérité évidente d’ellc-même.

Fig. 14. u n e perpendiculaire quelconque AB à une droite CD est rencontrée par toute oblique F G a celte droite.

Théorème XII.

Fig. 15. 64. Par un point donné C on peut mener une pa-

rallèle a une (Imite donnée A B , mais on ne peut lui en mener qu'une seule.

En effet, abaissons du point C une perpendiculaire CD sur la droite AB. Cela posé, de toutes les droites que l’on peut mener par le point C, une seulement sera perpendiculaire à CT), et les autres lui seront obliques; la perpendiculaire à CD sera parallèle à AB (61 et 62), et les autres rencontreront celte droite (63) : donc par le point C on ne peut mener qu’une seule parallèle à A B.

Théorème Xlll.

65. Lorsque deux d/vites AB, CD, sont parai- Fig. 13. léles , toute perpendiculaire F G élevée sur l’une d'elles A B l’est aussi sur l’autre C D.

D’abord F G rencontrera CD, sans quoi elle lui serait parallèle, et l’on aurait ainsi par le point F deux parallèles FG et AB à CD , ce qui ne se peut (64). En second lieu, FG sera perpendiculaire à CD, sans quoi elle lui serait oblique, et réciproquement CD serait oblique à FG : donc alors CD irait rencontrer AB perpendiculaire à FG (63), ce qui est absurde, puisque AB et CD sont supposées parallèles : donc F G est perpendiculaire à CD.

Théorème XIV.

66. Deux droites AB et C D , parallèles h une (mi- Fig. 16. sième FG, sont parallèles entre elles.

Car si l’on élève une perpendiculaire MN sur FG, elle le srra aussi sur ses parallèles AB et CD (63) : donc celles-ci seront ainsi perpendiculaires à une même droite MN, et par conséquent parallèles (62).

Théorème XV.

67. Deux parallèles AB et CD sont partout équi- Fig. 17. distantes.

Il s’agit de prouver que deux points quelconques P et Q de l’une d’elles A B sont à la même distance de

l’autre. Abaissons donc des points P et Q des perpendiculaires PR et QS sur Cl), et démontrons qu’elles sont égales (o5). Pour cela , du point M , milieu de PQ , j’abaisse M N perpendiculaire sur CD; cette droite l’est aussi sur AB (6iî), et ainsi les angles en M sont. droits : donc, si l’on replie la figure le long de MN, les droites MB et ND viendront se rabattre respectivement sur MA et sur NC, et par conséquent les points Q et S iront tomber sur ces droites; mais MQ=MP : donc le point Q se placera sur le point P. Or, les angles P et Q sont droits, comme les angles en M : donc, puisqu’ils ont déjà le côté commun PM, il faudra que QS prenne la direction de PR , et qu’ainsi le point S aille tomber sur cette droite. Mais il doit déjà se trouver sur NC : donc il se placera nécessairement au point R d’intersection de ces droites. QS a donc ses extrémités confondues avec celles de PR : donc ces deux droites coïncident dans toute leur étendue; donc elles sont égales, ce qui démontre notre théorème.

Fig. 18. 60. Lorsque deux droites AB et CD sont coupées

par une troisième FR, elles forment avec elle différents angles auxquels on a donné des noms particuliers.

On appelle angles fnternes ou externes des angles dont l’ouverture est entre les droites AB et CD, ou hors de ces droites. A G K. est un angle interne; AGF est un angle externe.

Deux angles internes ou externes , situés de différents cotés de la sécante F K , et dont les cotés sont dirigés en sens contraires, par rapport h la droite qui joint leurs sommets , se nomment angles alternes-inlernes ou allernes-ex ternes. AGR et FID sont deux angles altcrnes-internes. D’abord ce sont des angles internes; ensuite l’un est situé à gauche de la sécante FR, et l’autre l’est à sa droite; enfin les côtés GA et G R du premier sont évidemment dirigés en sens contraires des côtés 1D et IF du second. FGB et CIR sont deux angles alternes-externes.

On appelle angles correspondants deux angles situés d'un même coté de la sécante, et dont les cotés sont dirigés dans le même sens. Tels sont les angles F Cî B et FID.

TnÉORKME XVI.

69. Lorsque deux parallèles AB et CD sont coupées par une sécante FK,

1 0 Les angles alternes-inlernes sont égaux ;

2° Les angles allernesexternes sont égaux ;

3° Les angles correspondants sont égaux ;

4° Les angles internes d'un même côté de la. sécante sont supplémentaires ;

5° Les angles externes d'un même côté, de la sécante sont supplémentaires .

1“ et 2°. Par le milieu O de la portion de la sécante comprise entre les parallèles, menons MN parallèle à AB : elle le sera aussi à CD (66). Puis faisons tourner la partie FNK du plan autour du point O, jusqu’à ce que ON soit venue coïncider avec OM; alors OR ira tomber sur OF à cause de l’égalité des angles NOK et FOM [49] ; et , comme 01 = OG, les points 1 et G de la partie FNK. du plan se trouveront respectivement en G et en I. Mais les droites G B et ID n’auront pas cessé d’être parallèles à ON : donc elles le seront actuellement à OM, et par conséquent coïncideront respectivement avec IC. et GA, sans quoi, par un même point À ou G, on aurait deux parallèles à une même droite OM ( 64 ) : donc les angles BGK et D1F recouvriront leurs alternes-iuternes FIC et AGK; et les angles BGF et DIR recouvriront aussi leurs alternes-externes CIR et FGA. Donc, 1° et 2’ les angles alternes-internes ou al ternes-externes sont égaux.

3“ Je dis maintenant que les angles correspondants AGK et CIK, par exemple, sont égaux. En effet, l’angle CIK est égal à FID, son opposé par le sommet; mais celui-ci est égal à son alterne- interne AGK; donc les deux angles AGK et CIR , égaux à un troi-

sièmc FID, sont égaux. Donc, 3 3 les angles correspondants sont égaux.

4° Soient les deux angles internes d’un même côté A G K. et GIF. L’angle C1F a pour supplément son adjacent FID (39) ; mais FID est égal à son al terneinterne A G K.; donc GIF a aussi pour supplément AG K. Donc, 4° les angles .internes d’un même côté de la sécante sont supplémentaires.

5° Considérons enfin deux angles externes d’un même côté, AGF et CIK. Celui-ci a pour supplément son adjacent CIF, et par conséquent AGF, le correspondant de CIF. Doue, 5° les angles externes d’un même côté de la sécante sont supplémentaires.

Théorème XVII.

70. Réciproquement , deux (Imites sont parallèles lorsqu ’ elles font avec une meme sécante,

\ 0 Des angles alternes-internes égaux;

2° Des angles (illernes-externes égaux ;

3“ Des angles correspondants égaux;

4° Des angles internes d’un meme coté qui sont supplémentaires ;

5° Des angles externes d’un même coté qui sont supplémentaires.

Supposons, par exemple, que les angles altcrnes-internes AGK et DIF soient égaux :je dis que les droites AB et CD sont parallèles. En effet, si CD n’est point parallèle à AB, nous pourrons toujours mener, par le point I,RS, parallèle à AB, et alors les angles alternesinternes AGK. et SIF seront égaux; mais AGK est égal, par hypothèse, à DIF : donc les deux angles SIF et DIF, égaux à un troisième AGK, sont égaux entre eux, ce qui est absurde. Donc on ne peut pas supposer que CD ne soit pas parallèle à AB : donc ccs deux droites sont parallèles.

On démontrerait de la même manière les autres cas, en suivant, comme nous venons de le faire, le précepte du n° 48.

Théorème XVIII.

71. Deux angles sont égaux lorsqu ' ils ont les côtés parallèles et dirigés dans le même sens ou en sens contraires.

Soient d’abord les deux angles ABC, DFG, qui ont Fig. 10. les côtés parallèles et dirigés dans le même sens. Prolongeons DF jusqu’à sa rencontre avec C B au point I.

Les deux angles ABC, DIC, sont égaux comme correspondants par rapport aux parallèles AB et DI et à la sécante BC; mais DIC est aussi égal à DFG (69, 3’) : donc les' deux angles ABC, DFG, égaux à un troisième DIC, sont égaux entre eux.

Considérons maintenant les deux angles ABC, OFK, qui ont les côtés parallèles et diriges en sens contraires.

Ces deux angles sont égaux; car OFK est égal à DFG, son opposé par le sommet, et nous venons de voir que celui-ci est égal à ABC.

Théorème XIX.

72. Lorsque deux angles ABC, I)FO, ont leurs côtés parallèles , et que deux de ces côtés AB et DF sont dirigés dans le même sens , et les deux autres BC et FO en sens contrai tes, ces angles sont supplémentaires.

En effet, l’angle DFO est le supplément de sou adjacent DFG, et DFG est égal à ABC.

75. Corollaire. Deux angles qui ont les côtés parallèles sont égaux ou supplémentaires.

Théorème XX.

74. Deux angles ABC , DFG, qui ont leurs cô- Fig. 20. lés AB cl DF, BC et FG, perpendiculaires , sont égaux ou supplémentaires.

Menons, par le point B, BI et BK, perpendiculaires respectivement à À B et à BC : les deux angles I B K et ABC sont évidemment égaux, car ils ont le même complément KBA (46). Mais les angles IB K et DFG

sont égaux ou supplémentaires, puisque leurs côtés sont parallèles (73) : donc aussi les angles ABC et UFC sont égaux ou supplémentaires.