Une corde indéfiniment prolongée se nomme

sécante. Ainsi CABF est une sécante. Fig. 24.

Si l’on conçoit que la sécante CABF tourne autour de l’un des points oii elle coupe la circonférence, autour de A, par exemple, son autre point d’intersection B finira par venir coïncider avec lui. On dira alors que la sécante CF est devenue tangente. Ainsi la tangente a une circonférence en un point donné est la limite vers laquelle tend la direction d’une sécante que l’on fait tourner autour de ce point, jusqu’à ce que le second point d' intersection vienne coïncider avec le premier.

Théorème VI.

84. La tangente TT', en un point quelconque A d' une circonférence, est perpendiculaire sur le rayon OA mené au point de contact.

Tirons en effet par le point A une sécante quelconque CAB F. Lorsque cette sécante tournera autour du point A , la droite OI , qui joint le centre avec le mi— lieu de la corde interceptée par la circonférence, tournera aussi autour de ce centre , en restant toujours perpendiculaire à la sécante (82) : donc à la limite, c’est-à-dire quand la sécante sera devenue la tangente TT, cette droite de jonction lui sera encore perpendiculaire ; mais alors le milieu de la corde sera le point A lui-même : donc, etc.

80. Corollaire i. La tangente n’a qu’un point de commun avec la circonjérence ; car tout point de cette droite, autre que le point de contact, est hors de cette courbe, puisque sa distance au centre est plus grande que le rayon (82).

86. Corollaire ir. Toute droite CAF, autre que la tangente T AT', menée parle point decontact A est une sécante : en effet cette droite est oblique sur OA (56); donc si du centre on abaisse une perpendiculaire OI sur FC, cette perpendiculaire sera différente de OA; et par conséquent moindre qu’elle; donc le point 1 est intérieur à la circonférence.

Théorème VII.

87. Réciproquement, toute perpendiculaire TA'1 V élevée a l’extrémité A d’un rayon O A est tangente à la circonjérence.

On démontrera facilement cette réciproque en appliquant la règle du n° 48.

88. Corollaire. Toute dioile qui n’a qu’un point de commun avec une circonférence lui est tangente. En effet, la droite qui joindra ce point au centre sera la plus courte que l’on puisse mener de ce centre à la

DK LA CIRCONFERENCE. 35

droite dont il s'agit; donc elle lui est perpendiculaire (34); donc cette droite est une tangente.

Théorème VIII.

89. Deux parallèles interceptent , sur la circon- Fig. 25. fèrence , des arcs égaux.

Trois cas peuvent se présenter, selon que les parallèles seront toutes deux sécantes ; l’une sécante et l’autre tangente, ou toutes deux tangentes.

1° Soient les deux sécantes parallèles AB et CD, je dis que les arcs AC et DB sont égaux. J’abaisse, en . effet, du centre U la perpendiculaire 01 sur AB: elle le sera aussi sur sa parallèle CD, et par conséquent le point I sera le milieu des arcs AIB et CID (81).

Ainsi AI = IB et CI = ID : donc l’arc AC, différence des arcs AI et IC, est égal à l’arc DB, différence des arcs IB et 1 D qui sont respectivement égaux aux deux précédents.

2° Soient la sécante AB et la tangente TT, je joins le centre O et le point I de contact. La droite 01 sera ainsi perpendiculaire sur TT (84), et par conséquent sur sa parallèle AB: donc le point lest le milieu de l’arc AIB; donc les arcs AI et IB, interceptés entre la corde AB et la tangente TT', sont égaux.

3* Soient les deux tangentes parallèles TT' et SS'.

Si l’on mène un diamètre au point I, il sera perpendiculaire à TT et par conséquent à sa parallèle SS'; donc il ira passer par le point K, où cette seconde tangente rencontre la circonférence (50) ; donc IAK = IBK.

1)0. Scholie. La réciproque se démontrerait facilement par la règle du n° 48 ou directement ; mais pour qu’elle soit vraie dans le cas de deux cordes, il faut que ces cordes ne sc coupent pas dans la circonférence.

LEÇONS l)E GÉOMÉTRIE.

Théorème IX.

Fig. 26. î)i. Dans le même ce/vle ou clans des cercles égaux, 1 0 deux ares égaux A M B , C N D sont soustendus par des cordes égales AB, CD; 2° de deux arcs inégaux A M B, CNF, le plus grand , CNF, est sous-tendu par la plus grande corde CF. (Quand nous parlerons de l’arc sous-tendu par une corde, il s’agira toujours du plus petit des deux qu’elle soustend. )

1“ Supposons que les deux arcs égaux AMB, CND appartiennent à la même circonférence ; prenons le milieu L de l’arc AC, et tirons le diamètre LO Q. Si maintenant nous faisons tourner la demi-circonférence LNQ autour de LQ jusqu’à ce qu’elle vienne se rabattre sur LMQ, il est clair que ces deux demi-circonférences coïncideront parfaitement, sans quoi il y aurait des points inégalement éloignés du centre : donc le point C viendra se rabattre sur A; et, comme l’arc CND e^t égal à l’arc AMB, le point D ira de même se placer sur B. Les deux cordes CI) et AB auront donc leurs extrémités confondues : donc elles coïncideront dans toute leur étendue; donc elles sont égales.

Fig. 27. 2° Supposons que les arcs AMB, CNF appartien-

nent à deux circonférences égales. Tirons les diamètres AG et CK, et portons la seconde circonférence sur la première , en faisant coïncider ces diamètres : elles coïncideront elles-mêmes; et, comme CNF>AMB, le point F ira se placer en F' entre B et G, et la corde CF aura pris la position AF'. Joignons OF' ctOB: ce dernier rayon coupera AF' entre A et F' (c’est là ce qui exprime que CNF > AMB). Or, les droites AB et OF' sont plus petitesque les brisées respectives AI + 1B et OI + 1F' : donc