OF'<OI + IF
doue leur somme est aussi plus petite que celle de ces brisées; ainsi
UE LA CIRCONFÉRENCE. 37
AB + OF'<Al + Ili+Ül + IF'; mais lB+OI=OB, et AI + IF'=AF': donc AB + OF'<OB + AF'.
Rctrancliant d’une part ÜF', cl de l’autre son égal O B, il restera AB< AF' ou que CF, ce qu’il fallait démontrer.
Théorème X.
02. Réciproquement dans le même cercle ou dans Fig. 2(i. des cercles égaux , deux cordes égales A B et C D soustendent des arcs égaux AM B et CND, et de deux cordes inégales AB et CF, la plus grande CF soustend le plus grand arc.
1“ En effet, si l’arc AM B n’était pas égal à l’arc CND, le plus grand des deux serait sous-tendu par la plus grande corde, et ainsi AB ne serait pas égal à CD.
2° Si l’arc CNF n’est pas plus grand que A MB, il lui sera égal ou il sera plus petit que lui; mais, dans le premier cas, la corde CF serait égale à AB, et, dans le ^ second, elle serait plus petite qu’elle, résultats contraires à l’hypothèse. Donc l’arc CN F >AM B.
05. Sciiolie. En généralisant la méthode de démonstration que nous venons d’employer tout à l’heure (92), nous établirons la règle suivante, qui trouvera quelquefois son application dans la démonstration des réciproques.
Supposez faux le principe que vous voulez établir, et faites successivement toutes les hypothèses qui lui sont contradictoires. Examinez les conséquences qui en résultent , d'après les théorèmes précédents; et si ces conséquences ne peuvent s’accorder avec V hypothèse sur laquelle est établie votre réciproque , vous conclurez que cette réciproque est vraie.
Nous avons déjà fait usage de ce moyen de démonstration au n" 36.
Théorème XI.
94. Dans le même cercle ou dans des cercles Fig. 26. égaux , deux cordes égales AH, CD sont également éloignées du centre ; et de deux cordes inégales A B, CF, la plus grande CB' est la plus prés du centre.
Nous supposerons que les cordes soient tracées dans la même circonférence. Abaissons du centre O les perpendiculaires OG, OI, OK. sur les cordes respectives AB, CD et CF, et il s’agira de prouver que O G =01, et que OK.<OG(53).
1° Employez le même tour de démonstration que dans le premier paragraphe du n° 91, et vous conclurez la coïncidence des deux perpendiculaires O G et OI du théorème du n" 30.
2° Puisque la corde CF est plus grande que AB, l’arc CNB' est plus grand que AMB, et ainsi l’on pourra prendre sur cet arc une ^«rt/eCND égale à AMB. Joignez CD, et abaissez sur cette corde la perpendiculaire OI, qui coupe CF en H : on a évidemment OK<ÜII. Mais, comme le point I est au-dessus du pointH, sans quoi la corde CD ne pourrait aller se terminer en D qu’en coupant CF en un autre point que C , on a aussi OII<.OI: donc à plus forte raison O K est-il plus petit queOI. Mais OI = OG, puisque les cordes AB et CD sont égales : donc enfin ()R<OG.
Théorème XII.
93. Réciproquement , dans le même cercle ou dans des cercles égaux, deux cordes également éloignées du centre sont égales, et de deux cordes inégalement éloignées du centre, celle qui en est la plus prés est la plus grande.
Appliquez la règle du n° 93.
§. II. Des circonférences tangentes et sécantes.
96. Nous avons vu que trois points qui ne sont pas situés en ligne droite déterminaient une circonférence:
DE LA CIRCONFÉRENCE. 39
d’où il suit que deux circonférences ont au plus deux points communs. Deux circonférences qui se rencontrent en deux points sont dites sécantes. Elles sont tangentes si elles n’ont qu’un point commun.
Théorème XIII.
97. Lorsque deux circonférences se coupent , la droite qui joint leurs centres est perpendiculaire sur le milieu de la corde commune.
En effet, si l’on élève une perpendiculaire sur le milieu de cette corde AB, elle ira passer par les deux Fig. 28. centres O et O' (82) : donc elle aura deux points communs avec la droite O O , et coïncidera par conséquent avec elle; donc O O' est elle-même cette perpendiculaire élevée sur le milieu de AB.
Théorème XIV.
98. Lorsque deux circonférences sont tangentes , le point de contact est sur la droite qui joint les centres.
Considérons en effet deux circonférences O et O' qui Fig. 28 se coupent aux points A et B , et supposons que la se- et 29. coude tourne autour du point fixe  : il arrivera un instant où le second point d’intersection B se sera réuni au premier, et alors les deux circonférences seront devenues tangentes. Or la droite qui joint les centres u’aura pas cessé d’être perpendiculaire sur le milieu de la corde commune; et, comme cette corde est alors réduite au point A , ce point doit se trouver sur la ligne des centres. Donc, etc. (’).
(*) Si l’on veut démontrer ce théorème h priori, on dira: ,
Supposons que le point de contact soit en M, hors de la droite Fig. 30. OO' qui joint les centres O et O'. Abaissons MA, perpendiculaire sur OO', et prolongeonvla d’une quantité AM' = AM. Il est clair que de cette manière la droite OO' est perpendiculaire sur le milieu de IVI M', et qu’ainsi les centres O et O' sont chacun également éloignés de ses extrémités M et M* : donc les deux circonférences passeront aussi par le point M' ; donc elles au-
T.EÇ.OîtS DE GÉOMÉTRIE.
99. Schoue. I.e théorème précédent peut s’énoncer de la manière suivante :
Lorsque deux circonférences sont tangentes extérieurement ou. intérieurement , la distance des centres est égale h la somme ou h la différence de leurs rayons.
Fig. 20. En effet , le point de contact A , devant se trouver sur la droite qui joint les centres (98), sera situé entre les deux centres, ou les laissera tous deux d’un même côté; mais alors il est évident que, dans le premier cas, leur distance O O est égale à la somme O A + O' A des deux rayons, et que dans le second elle est égale à leur différence O A — O' A.
Théorème XV.
100 . Réciproquement , deux circonférences sont tangentes lorsqu’elles ont un point commun A sur ta droite qui joint les centres.
Nous considérerons deux cas, selon que le point commun A sera entre les deux centres O et O', ou sur le prolongement de la droite qui les unit.
1" Joignons les deux centres O et O' avec un point quelconque M de la circonférence O' : nous formerons ainsi la brisée O MO', qui sera plus grande que la droite O A O'. Retranchons d’une part MO' et de l’autre son égale O'A : il restera O M > O A : donc tous les points de la circonférence O' sont, à l’exception de A, extérieurs à la circonférence O, donc ces deux circonférences se touchent extérieurement en A.
2° Joignons encore les centres O et O' avec un point quelconque M de la circonférence O'. La droite O M est plus courte que la brisée OO'M, ou que son égale OA : ainsi tous les points de la circonférence O' sont intérieurs à la circonférence O; donc ces deux circonférences se touchent intérieurement en A.
ront deux points communs, ce qui est contraire à l’hypothèse. Donc le point de contact M ne peut pas être hors de la -droite OO'.
DE l.A CIRCONFÉRENCE. , 41
On pourrait encore démontrer cette réciproque par la réduction à l’absurde (95), et en s’appuyant sur le théorème du n° 97.
101. Sckolie. Cette réciproque peut s’énoncer comme il suit :
Deux circonférences sont tangentes extérieurement ou intérieurement lorsque la distance de leurs centres est égale a la somme ou a la différence de leurs rayons.
1° Supposons que la distance 00' des centres soit Fig. 29. égale à la somme des rayons; soit OA l’un des rayons, l’autre sera nécessairement O'A : donc les deux circonférences passeront par le point A de la droite OO': donc elles seront tangentes (100).
2° Supposons que la distance O 0' des centres soit égale à la différence des rayons, le plus grand se composera alors du plus petit et de cette distance : donc si OA est ce plus grand rayon, le plus petit sera nécessairement O'A; donc les deux circonférences passeront alors par le point A de la droite O O'; donc elles seront tangentes (100).
102. Corollaire. Il suit de cette proposition et de la précédente (98 et 100) que la droite indéfinie OA est le lieu géométrique des centres de toutes les circonférences tangentes à la circonférence O au point A; et si par le point A on mène une perpendiculaire TT' à OA, cette droite sera une tangente commune à toutes ces circonférences. Or, chacune de ces circonférences enveloppe toutes celles dont les centres sont compris entre le sien et le point A : donc ces circonférences s’approchent d’autant plus de cette tangente que leurs rayons sont plus grands; de sorte qu’rv? peut regarder la tangente TT' comme leur limite, c’està-dire comme une circonférence dont le rayon est infini.
Théorème XVI.
