CHAPITRE PREMIER

426. Nous avons vu qu’un plan est détermine par la condition de passer par trois points qui ne sont pas en ligne droite, ou par deux droites qui se coupent; il Test encore quand il doit passer par deux droites parallèles : ainsi

Théorème I.

Deux droites parallèles déterminent j un plan.

En effet, on pourra toujours mener un plan par deux parallèles données, puisque, d’après la définition du u° 62, ces deux droites sont dans un même plan. En second lieu, on ne pourra en mener qu’un, sans quoi, en prenant deux points sur l’une et un sur l’autre droite, on aurait deux plans distincts passant par ces trois points qui ne sont pas en ligne droite, g. 209. 427. Corollaire i. Par un point A donné dans

l'espace, on ne peut mener qu’une seule parallèle a une droite donnée BC. En effet, si par le point A et la droite BC op mène un plan MN, on pourra tracer dans ce plan et par ce point une parallèle AD à cette droite: or, si l’on pouvait en mener une seconde AF, le plan déterminé par les deux parallèles AF ctBC coïnciderait avec le plan MN (16): donc on aurait par le point A, et dans ce plan , deux parallèles AF et ÀD à la même droite BC, ce qui est impossible (64).

428. Corollaire ii. Si une d/vite AB glisse sur une autre CB en restant constamment parallèle a elle-même, elle engendrera un plan , sans quoi on pourrait mener par chacun des points de CB deux parallèles à AB : l’une tracée dans le plan ABC, et l’autre qui serait la droite mobile arrivée en ce point.

Théorème II.

420. Si une droite A O est perpendiculaire a deux Fig. 210. autres droites BC et D F menées par son pied dans le plan MN, c’est-à-dire par le point où elle perce ce plan , elle sera perpendiculaire a toute autre droite CI menée par son pied dans ce plan (*).

Par deux points quelconques B et D, pris sur les côtés de l’angle BOD, dans lequel est tracée la droite ÜG, tirons la ligne BD, qui coupe IG en G; puis prolongeons AO d’une quantité O A'= OA, et joignons les points A et A' successivement avec chacun des trois poinls B, G, D. La droite O B étant ainsi perpendiculaire sur le milieu de A A', les distances B A et B A' sont égales (88). Par la même raison A 1) = D A' : donc les triangles ABD et A'BD sont égaux(167); donc l’angle ABD est égal à son homologue A'BD; par conséquent les triangles A*BG et A'BG sont égaux (189); donc le côté AG est égal à son homologue A'G; donc, si par le milieu O de A A' ou élève dans le plan AG A' une perpendiculaire à cette droite, elle passera par le point G (89); donc elle aura deux points communs avec O G ; donc elle coïncidera avec elle; donc O G est perpendiculaire sur AA'.