On appelle perpendiculaire a un plan une
(*) La légitimité île cette hypothèse devient évidente en observant que l’on peut toujours tracer dans un premier plan conduit suivant AO une perpendiculaire au point O de crttc droite, et répéter la meme construction dans un second plan mené par AO. 11 ne s’agira plus alors que de faire passer un plan par ces deux perpendiculaires.
2‘2i LEÇONS DE GÉOMÉTRIE.
dmite qui est perpendiculaire ci toutes les droites que Von peut mener , par son pied, dans ce plan. Réciproquement, le plan est dit perpendiculaire h la droite.
431. Il suit du théorème précédent que, pour s’assurer qu’une droite et un plan sont perpendiculaires entre eux, il suffît de vérifier que la droite est perpendiculaire à deux droites menées par son pied dans ce plan.
• Théorème III.
432. Si trois droites B O, GO et DO sont perpendiculaires sur une même droite A A' et au même point O, ces trois (Imites semnt dans un même plan perpendiculaire a celte (Imite A A'.
Je dis, en effet, que si nous menons un plan par les deux premières droites B O et GO, la troisième DO sera dans ce plan : car si elle n’y est pas, conduisons un plan par ics deux droites AA' et DO, et soit D'O sa trace (*) sur le plan BOG; la droite AA' sera perpendiculaire sur D'O (429), et nous aurons ainsi dans le plan AOD deux perpendiculaires DO et D'O sur la droite AA', et au même point O, ce qui ne se peut : donc D O est dans le plan BOG perpendiculaire «à AA'; donc, etc.
433. Corollaire. Le lieu géométrique de toutes les perpendiculaires élevées sur une (Imite par un même point , est un plan perpendiculaire à cette dmite.
Théorème IV.
434. Par un point donné on peut toujours mener une perpendiculaire à un plan, mais on ne peut en tirer qu’une.
(*) L’in lersect ion d’un plan par un aulrc plan, on par une droite, se nomme la trace de ce second plan ou de cette droite sur le premier.
11 peut se présenter deux cas, suivant que le point donné est situe sur le plan ou hors du plan.
!‘ r cas. Soit O un point donné sur le plan MN : je Fig. 211. tire une droite quelconque BC dans ce plan; du point O j’abaisse la perpendiculaire OD sur cette droite, et par son pied D je mène une perpendiculaire quelconque DA à BC; je dis enfin que si on élève par le point O et dans le plan ODA une perpendiculaire OA à O D, cette droite OA sera perpendiculaire au plan INI N. Pour le démontrer, je prolonge OA d’une quantité OA' = OA, je joins un point quelconque C de BC avec A, O et A', et je tire A'D. Puisque DO est perpendiculaire sur le milieu de AA', A'D = AD, et comme BC est perpendiculaire aux deux droites DA et DO, elle l’est à leur plan, et par conséquent à A'D; les triangles rectangles ADC et A'DC ont donc un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun, et ainsi AC = A'C; donc OC est perpendiculaire sur AA' (60); donc cette droite étant perpendiculaire aux deux droites OD et OC qui passent par son pied dans le plan MN, est perpendiculaire à ce plan.
2 e cas. Soit A un point donné hors du plan MN.
J’abaisse la perpendiculaire A D sur une droite quelconque BC, tirée dans ce plan ; puis par son pied D je mène dans le plan MN la perpendiculaire DO sur BC, et je dis que la perpendiculaire AO abaissée de A sur OD sera perpendiculaire au plan MN.
Répétez la démonstration précédente.
Il est évident que, par un même point, on ne peut tirer qu’une seule perpendiculaire au plan MN ; car s’il était possible d’en mener deux, la trace de leur plan sur MN serait une perpendiculaire commune à ces deux droites (420), ce qui est absurde (150).
43o. On appelle oblique h un plan toute droite qui rencontre ce plan sans lui être perpendiculaire.
Théorème V.
l ig. 212. 456. Si une perpendiculaire OA, cl différentes
obliques A B , AC , AD , a un plan M N , partent d'un même point A, 1° la perpendiculaire AO est plus courte que toute oblique ; 2° les obliques AB et AC qui s'écartent également du pied de la perpendiculaire , sont égales ; 3° de deux obliques AC et AD, celle AD qui s'en écarte le plus est la plus longue.
1 0 La perpendiculaire OA est plus petite que l’oblique AB, en vertu du théorème du n° 52.
2° Les obliques AB et AC sont égales; car elles sont les hypoténuses des deux triangles rectangles égaux AO B et AO C (159).
3’ L’oblique A'D est plus grande que AC; car si l’on prend OC' = OC et que l’on joigne AC', cette oblique sera égale à AC; niais puisque, par hypothèse, OD>OC, l’oblique A D > AC', c’est-à-dire que AC.
437. Corollaire i. Réciproquement , si deux obliques a un plan partent d'un même point et qu'elles soient égales, elles s'écarteront également du pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur ce plan , et, si elles sont inégales, c'est la plus longue qui s’en écartera le plus.
438. Corollaire ii. La distance d’un point a un plan a pour mesure la perpendiculaire abaissée de ce point sur ce plan.
Théorème VI.
Fig. 211. 439. Si du pied d’une perpendiculaire AO h un
plan M N , on abaisse une perpendiculaire OD sur une droite BC tracée dans ce plan , et qu’on joigne le pied de celte seconde perpendiculaire avec un point quelconque A .de la première , la droite de jonction AD sera perpendiculaire à la droite BC du plan.
Prenons, en effet, sur BC les deux distances égales DB et DC, et joignons OB et OC, AB et AC. On
aura évidemment O B = OC (oi>), et par conséquent AB = AC (456) : donc, si l’on élève par le point D et dans le plan BAC une perpendiculaire sur BC, elle ira passer par le point A, et coïncidera ainsi avec AD, donc AD est précisément cette perpendiculaire.
440. SciiouE. Les deux droites BC et 'AO ne sc rencontrent évidemment pas, et cependant elles ne sont point parallèles : car, pour quelles le fussent, il faudrait encore qu’elles se trouvassent dans un même plan (62), lequel coïnciderait avec le plan MN, de sorte que la droite AO serait tout entière dans MN, ce qui n’est pas. Ainsi, de ce que deux droites ne se rencontrent pas dans l’espace, il faut bien se garder de conclure qu’elles sont parallèles.
Théorème VII.
441. Deux perpendiculaires AB et CD a un même Fi b -. 213. plan RI N sont parallèles.
En effet, les deux droites AB et CD sont perpendiculaires à la droite BD qui joint leurs pieds : il suffît donc de prouver qu’elles sont dans un même plan. Pour Y parvenir, j’élève au point D sur BD, et dans le plan MN, la perpendiculaire FG, et je joins AD : cette ligne sera perpendiculaire à FG (450); mais déjà CD est perpendiculaire à FG (450) : donc les droites BD,
A D et C D sont dans un même plan (452 ) ; et , comme AB est aussi dans ce plan (16), le théorème sc trouve démontré.
Théorème VIII.
442. Réciproquement, si deux droites AB, CD, sont parallèles, cl que l’une d'elles A B soit perpendiculaire a un plan M N, l'autre CD/e sera aussi.
En effet, s'il n’en est pas ainsi, on pourra mener par l’un des points de CD une perpendiculaire au plan MN, laquelle sera parallèle à AD. Un aura donc par , un même point deux parallèles à une même droite AB,
*<e qui ne se peut (427).
453. Corollaire r. Deux droites parallèles h une troisième dans l’espace sont parallèles : car, si l’oii mène un plan perpendiculaire à cette troisième , il le sera anx deux autres (442), qui ainsi seront parallèles (441).
Fig. 21 4. 444. Corollaire ii. Si deux droites A R, CD,
sont parallèles , et que par ces droites on mène deux plans AE et CE qui se coupent , leur commune intersection F E sera parallèle a ces droites.
En effet, si par un point quelconque de FE on mène une parallèle à AB, elle le sera aussi à CD : donc elle devra se trouver à la fois dans les deux plans AE et CE (427); donc elle coïncidera avec leur intersection F E.
453. Sciiolie. Remarquons que chacune des deux droites AB et C D est parallèle à tout plan conduit par l’autre, c’est-à-dire qu’elle ne peut rencontrer ce plan : car, ces droites étant tout entières dans le plan ABCD, AB, par exemple, ne pourra rencontrer un plan mené suivant CD qu’autant qu’elle rencontrera l’intersection de ce plan avec ABCD, c’est-à-dire CD, ce qui ne se peut. Ainsi toute droite parallèle a une droite tracée dans un plan est parallèle à cè plan.
446. On appelle projection d'un point sur un plan le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur ce plan. Cette projection est unique (434).
447. On appelle projection d'une ligne sur un plan le lieu des pieds de toutes les perpendiculaires abaissées des dijjérenls points de celle ligne sur ce plan, que Von nomme le plan de projection.
448. Il suit de celte définition, que la projection d’une ligne droite sur un plan est une ligne droite : car le lieu des perpendiculaires abaissées de ses différents points sur ce plan est un plan (441 et 428). Or, deux points suffisent pour déterminer une droite : donc il suffira, pour déterminer la projection d’une droite, de joindre les projections de deux quelconques de ses points, ou, mieux encore, de joindre sa trace
sur ic plan donne avec la projection de l’un quelconque de ses points.
449. Ou appelle plan projetant d une droite le lieu des perpendiculaires abaissées de ses différents points sur le plan de projection.
Théorème IX.
460. Deux plans MN, PQ, perpendiculaires à Fig. 215. une même droite AB, sont parallèles, c’cst-à-dire qu’ils
ne peuvent pas se rencontrer.
En effet, s’ils pouvaient se rencontrer, enjoignant un point quelconque O de leur intersection avec les traces de la droite AB sur ces plans, les droites OA et OB seraient tout entières dans les plans respectifs MN ctPQ, et par conséquent perpendiculaires à A B, ce qui ne se peut.
Théorème X.
461. Les intersections de deux plans parallèles par un troisième, sont parallèles.
Car ces intersections ne peuvent se rencontrer, puisqu’elles sont tout entières dans deux plans parallèles; d’ailleurs elles sont daus un même plan : donc elles sont parallèles (62).
Théorème XI.
462. Si deux plans M N, P Q sont parallèles, toute perpendiculaire A B élevée sur l'un deux MN, l’est aussi sur l’autre l’ Q.
D’abord la droite AB rencontrera le plan PQ : car si, par un point quelconque G de PQ, et par la droite AB, on mène un plan, ses traces CD et F G sur MN et sur PQ, seront parallèles: donc AB, qui rencontre la première, rencontrera aussi la seconde (64), et partant le plan PQ; de plus AB sera perpendiculaire à FG, puisqu’elle l’est, par hypothèse, à CD: donc, étant perpendiculaire à toute droite menée par son pied dans le plan PQ, elle le sera à ce plan.
230 LEÇONS l»K GÉOMÉTRIE.
453. Scitolie. Puisque toute droite qui coupe le plan MN rencontre aussi le plan parallèle PQ, on voit que toutes les parallèles que l’on peut mener au plan PQ par un point quelconque deMN, sont situées dans ce dernier plan. Aiosi le lieu de toutes les parallèles que l'on peut mener par un point donné a un même plan , est un second plan parallèle h celui-ci.
454. Corollaire. Par un point donné on ne peut mener qu'un seul plan parallèle à un autre.
Théorème XII.
455. Les parties AB, GD de deux parallèles com- » prises entre deux plans parallèles MN, P Q , sont
égales.
Car, si l’on mène un plan par ces deux parallèles, scs traces AD et BG, sur nos deux plans, seront parallè- lcs (451) : donc AB = GD (175).
456. Corollaire i. Deux plans parallèles sont partout équidistants : car les perpendiculaires abaissées de deux points quelconques de l’un sur l’autre sont parallèles (441), et par conséquent égales.
467. Corollaire ii. I^es parallèles comprises entre une droite et un plan parallèle sont égales.
Théorème XIII.
Fig. 210. 458. Si deux angles B et B' ont leurs côtés paral-
lèles , 1° leurs plans scient parallèles; 2° ils seront égaux si les côtés parallèles sont dirigés dans le môme sens ou en sens directement contraires ; 3° ils seront supplémentaires si, deux côtés parallèles étant dirigés dans le même sens, les deux autres le sont en sens opposés.
1“ Si le plan ABC. n’est pas parallèle à A'B'C', nous pourrons mener par le point B un plan parallèle à A'B'C', lequel ne pourra passer à la fois par les deux droites AB et BC, sans quoi il coïnciderait avec ABC. Supposons donc qu’il ne soit pas dirigé suivant BA, et soitBM sa trace sur le plan A B A' B'. Cette trace
sera parallèle à A' B' (4SI), et ainsi on aura par le point B deux parallèles AB et BM à cetle droite, ce qui ne se peut : donc le plan ABC est parallèle à A'B'C'.
2° Supposons que les angles B et B' aient leurs côtes dirigés dans le même sens. Prenons B A = B' A', BC = B’C'; joignons AC, A'C', BB', AA' et CC'. Ces deux dernières sont égales et parallèles à B B' (178), et par conséquent égales et parallèles entre elles : donc le quadrilatère AC' est un parallélogramme, et ainsi A C A'C' ; par conséquent les triangles ABC et A'B’C' sont équilatéraux entre eux; donc leurs angles homologues B et B' sont égaux.
Les deux autres cas se démontrent comme aux n OT 71 et 72.
4o0. Corollaire. Si deux droites sont parallèles, leurs projections sur un même plan sont paral- Mes (481). j '
La réciproque n’est pas vraie; seulement on peut conclure que si les projections de deux droites sur un même plan sont parallèles, leurs plans projetants sont parallèles : car ces plans sont déterminés par ces projections et par les perpendiculaires élevées par un point de chacune d’elles sur le plan de projection.
D’où l’on voit que deux droites sont parallèles quand leurs projections sur deux plans qui se coupent sont parallèles : car les deux plans projetants de l’une sont parallèles aux deux plans projetants de l’autre ; et il est évident que si deux plans parallèles sont coupés par deux autres plans parallèles, les quatre droites qui résultent de leurs intersections sont parallèles ; or, de ces quatre intersections, deux sout les droites proposées.
460. Sciiolie. Le théorème du n° 226 est vrai pour deux angles situés dans l’espace.
Théorème XIV.
