AB: BC:: A B : B'C
462. Scholie. La réciqroque de cette proposition n’est pas vraie : car deux points ne suffisent pas pour déterminer un plan; toutefois, on ne peut faire passer par les points homologues A et A', B et B', C et C' qu’un seul système de trois plans parallèles. Menons eu effet par le point A une parallèle à A'C' et prenons sur celte droite des parties AD = A'B' et DE = B'C', les trois droites AA', DB' et EC' seront parallèles (178) et les deux droites BD et CE le seront aussi, puisqu’elles divisent AC et AE en parties proportionnelles. Donc le plan BDB' sera parallèle à CEC'(4o8) et à celui qui passera par AA et la parallèle AF à BD. Mais on voit qu’il n’y a que ce système de trois plans parallèles qui puisse passer par les points A et A', B et B', C et C': car le plan moyen devant couper AE dans le même rapport que AC et que A'C', passe nécessairement par le point D, et coïncide ainsi avec BDB'.
463. Corollaire i. Deux plans parallèles coupent un système de droites issues du même point en parties proportionnelles.
464. Corollaire ii. Si l'on partage en parties vroporlionnel/es plusieurs droites issues du même point tt terminées au même plan, les points de division se trouveront dans un même plan parallèle à celui-ci.
Problème I.
465. Par un point donné mener une perpendiculaire h un plan donné M N.
Il y a deux cas à considérer selon que le point donné sera situé hors du plan RIN ou sur ce plan.
1 er cas. Soit A le point donné hors du plan MN : Fig. 212. répétez la construction indiquée au deuxième cas du n" 434 , ou mieux, marquez sur le plan MN trois points 13, C,D équidistants de A, et joignez ce point A avec le centre du cercle déterminé par les trois points 11,
2 e cas. Soit O le point donné sur le plan MN : ré- F*»- 211. pétez la construction indiquée au premier cas du n° 454, ou bien menez par le point O une parallèle à une perpendiculaire abaissée sur le plan MN.
Problème II.
466. D’un point donné A abaisser une perpendiculaire sur une droite II C située dans le plan M N.
Abaissez du point A une perpendiculaire AO sur le plan MN, puis du point O une perpendiculaire sur I1C et joignez le pied I) de celle-ci avec le point A (459).
Problème III.
467. Trouver la plus courte distance de deux * droites Ali, CI), qui ne sont pas situées dans un même plan.
Cette plus courte distance de deux droites AB et CD est évidemment une ligne droite (6); de plus elle est perpendiculaire aux deux droites AB et CD : car si elle était oblique sur A B, par exemple, elle serait plus longue que la perpendiculaire abaissée sur AB du point où elle coupe CD, ce qui ne se peut. II s’agit donc de mener une perpendiculaire commune aux deux droites AB et CD.
Pour cela, je mène, par un point quelconque de CD, une parallèle CF à A 13; et, d’un point quelconque B de
celle-ci, j’abaisse la perpendiculaire BG sur le plan de l’angle FCD; par le point G je tire GI parallèle à CF, et par conséquent à AB; et, par le point I, IK parallèle à BG. Cette droite IK. est perpendiculaire aux deux droites AB et CD: car elle est. perpendiculaire au plan F'CD, puisquelle est parallèle à BG(442); donc clic est perpendiculaire à CD et à IG, et partant h AB.
Je dis maintenant que le problème n’admet qu’une solution. Supposons, en effet, que l’on puisse mener une seconde perpendiculaire MN aux deux droites AB et CD. Si par le point N on tire la parallèle NE à AB, M N sera perpendiculaire sur NE, et partant au plan FCD : donc elle sera dans le plau ABGI, qui est le lieu de toutes les perpendiculaires abaissées des différents points de AB sur le plan FCD(449): donc elle devra rencontrer CD au point I, ce qui est absurde. (iîO); donc Kl est la seule perpendiculaire que l’on puisse mener à la fois sur AB et sur CD.
468. Sciioli e. Les deux droites AB et CD, qui ne se rencontrent pas, ont cependant, l’une à l’égard de l’autre, une certaine inclinaison que l’on mesure par l’angle que font entre elles deux parallèles menées à chacune de ces droites par un même point de l’espace, ou, plus simplement, par l’angle que forme l’une d’elles avec une parallèle menée à l’autre par l’un de ses points. Ainsi l’angle FCD est la mesure de l’inclinaison des deux droites AB et CD.
Fig. 219. 469. Quant à X inclinaison d’une droite AB sur un
plan MN, on doit évidemment prendre pour sa mesure le plus petit des angles qu’elle forme avec les différentes droites que l’on peut mener dans ce plan par le point B, où elle le perce. Or, cet angle minimum est celui même que la droite dont il s’agit fait avec sa projection sur ce plan. En effet, pour avoir la projection de AB sur MN, j’abaisse de l’un quelconque de ses points une perpendiculaire AO sur ce plan , et je joins B O (448). Cela posé, soit BC une droite quelconque menée par
le point B dans le plan MN, Je prends BC = B O et je joins AC. Les deux triangles ABO et ABC ont le côté commun AB, le côtéBO = BG, et le troisième côté AO du premier est plus petit que le troisième côté AC du second: donc l’angle ABO est plus petit que ABC (165); donc
L’inclinaison d'une droite sur un plan a pour mesure l’angle qu’elle fait avec sa projection sur ce plan.
470. Problèmes a résoddre. i " Quel est le lieu de tous les points équidistants de deux points donnés?
2° Quel est le lieu de deux points équidistants d'une circonférence donnée?
3° Démontrer que tout plan parallèle à deux cotés opposés d’un quadrilatère gadchf. (*) coupe les deux autres côtés en parties proportionnelles, et que réciproquement toute droite qui coupe en parties propot'tionnelles deux côtés opposés d’un quadrilatère gauche est dans un plan parallèle aux deux autres côtés?
4° Prouver que deux droites parallèles sont également inclinées sur un même plan.
