CHAPITRE II
DES ANGLES DIÈDRES ET TOLTÈDRES.
471. On appelle angle dièdre la portion indéfinie de l'espace comprise entre deux plans qui se coupent, et sont terminés h leur ligne d’intersection. Cette droite se nomme l’arête de l’angle dièdre, et les deux plans qui le comprennent en sont les faces. Ainsi, la droite BC est l’arête de l’angle dièdre ÀBCD, et les plans AC et BD en sont les faces. On désigne, comme on voit, un angle dièdre par quatre lettres, dont les deux extrêmes indiquent des points quelconques de ses faces,
(*) On appelle ainsi un quadrilatère dont les quatre côtes ne sont pas dans un même plan.
Fig. 220.
et dont les deux moyennes appartiennent à l’arête. Quelquefois même on dénomme nn angle dièdre seulement par les deux lettres placées sur l’arête; mais il faut, pour cela, que cette arête ue soit pas commune à d’autres angles dièdres. Ainsi, dans la figure 219 on dira très-bien l’angle dièdre BC pour désigner l’angle formé par les deux plans A C et BD.
472. Si par un point quelconque G de l’arête de l’angle dièdre BC on mène dans chacune de ses faces les perpendiculaires GF et GI a cette arête, elles formeront un angle FG I , «pie l’on nomme l'angle rectiligne correspondant a l’angle dièdre BC, et cet angle est le même, quelle que soit la position de son sommet G sur l’arête. On voit en effet que, si l’on fait la même construction pour tout autre point I. de cette arête, l’angle KI.O sera égal à FGI, puisqu’ils auront leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens.
Théorème I.
473. Deux angles dièdres B C et B'C' sont égaux lorsque leurs angles rectilignes correspondants FG[ et F G'I' sont eux-mêmes égaux.
En effet, on pourra superposer les deux angles égaux FGI et FGI' de manière qu’ils coïncident parfaitement, et alors les arêtes BC et B'C', qui sont respectivement perpendiculaires aux plans de ccs angles (451), coïncideront (43 r i)\ les deux droites F'G' et BC' étant ainsi placées sur FG et sur BC, le plan A'C' se confondra avec le plan AC; il en sera de même du plan B D à l’égard de BD, et par conséquent les deux angles dièdres BC et B'C' coïncideront : donc ils sont égaux.
Théorème II.
474. Réciproquement, si deux angles dièdres BC et B'C' sont égaux, leurs angles rectilignes correspondants FGI et F G'I' seront aussi égaux.
On pourra placer, en effet, ces deux angles dièdres de manière qu’ils se recouvrent parfailemont, et que le point G' soit sur G. Mais alors les perpendiculaires F G' et
FG aux arêtes IV C' et BC, coïncideront. Il en sera de même des droites G l' et GI, de sorte que l’angle F'G'I' se confondra avec FGI : donc ces angles sont égaux.
475. Un plan AB est perpendiculaire sur ««Fig autre MN lorsqu’il forme a\'ec lui deux angles dièdres adjacents égaux ACBM et ABCN. On dit alors que ces angles dièdres sont droits.
Théorème III.
476. L’angle rectiligne correspondant à un angle dièdre droit, est aussi droit.
On voit en effet que, si par le point G on mène dans les plans MN et AB les perpendiculaires IR et FG à l’arête BC, les angles rectilignes FGI et FG R, correspondants aux angles dièdres égaux ACBjM et ABCN, seront égaux, et par conséquent droits.
Théorème IV.
477. Réciproquement, si l’angle rectiligne FGI, correspondant a l’angle dièdre A C B M , est droit , cet angle dièdre sera aussi droit.
Car l’angle FGR, adjacent à FGI, sera droit; donc les deux angles dièdres ACBM et ABCN, qui leur correspondent, sont égaux, et sont par conséquent droits.
47». Corollaire. Tout plan AB conduit suivant une perpendiculaire F G « un autre plan M N , est perpendiculaire h celui-ci.
Théorème V.
479. Si deux plans AB et M N sont perpendiculaires entre eux, et que Ton mette dans le premier une perpendiculaire F G a leur intersection BC, celle droite sera perpendiculaire au second.
Élevons, en effet, dans le plan M N la perpendiculaire GR sur l’intersection BC; l’angle FGR sera le rectiligne correspondant à l’angle dièdre ABCN, et sera par conséquent droit; donc la ligne FG, perpendiculaire
aux deux droites BC et G K, menées par son pied dans le plan MN, sera perpendiculaire à ce plan.
' Théorème VI.
400. Réciproquement, si deux plans A B et MN sont perpendiculaires entre eux, et que par un point quelconque G de leur intersection on élire une perpendiculaire GF sur le second, celte droite sera située dans le premier.
Appliquez le précepte du n° 40.
Théorème VII.
401 . Si deux plans A B <>/CD qui se coupent sont perpendiculaires a un troisième MN, leur commune intersection F G est perpendiculaire a ce troisième.
Car, si par le point G commun aux trois plans ou élève une perpendiculaire au plan MN, elle devra se trouver à la fois dans les deux plaus AB et EU (400); donc elle sera leur intersection mêmeFG.
• Théorème VIII.
Fig. 222. 482 Si une droite AB est perpendiculaire a un
plan P Q , la projection B A' de cette droite sur un plan quelconque M N , sera perpendiculaire a la trace Qlt du plan dont il s'agit sur le plan de projection.
Car, puisque la droite AB est perpendiculaire au plan donné P Q, son plan projetant AB A" est perpendiculaire à celui-ci (470); mais il l’est aussi au plan de projection MN (449). Ainsi, le plan donné PQ et le plan de projection MN étant perpendiculaires au plan projetant de la droite, leur commune section, c’est-à-dire la trace QR du plan donné, sera perpendiculaire à ce plan projetant A B A' (401), et partant à lu projection B A' de la droite, qui est une ligne tracée dans ce plan.
403. Scuor.u:. La réciproque n’est pas vraie ; on peut ' dire seulement que si la projection B A' d'une droite
BBS ANGLES DIÈDRES ET POLYÈDRES. 239
sur un plan M N est perpendiculaire à la trace Q R d’un plan donné PQ sur celui-ci , le plan projetant de la droite est perpendiculaire au plan donné, lin effet, cette trace QR est perpendiculaire au plan projetant de la droite (479) : donc le plan donné est perpendiculaire à ce plan projetant (47ft).
Il suit de là que, lorsque les projections d’une droite sur deux plans qui se coupent sont perpendiculaires aux traces d’un jjlau sur ces deux-la, la droite est perpendiculaire a ce plan ; car, les deux plans projetants de la droite étant perpendiculaires à ce plan, leur commune section, c’est-à-dire cette droite, l'est aussi.
Théorème IX.
404. Deux angles dièdres ABCD e/ EF G II sont Fig. 223. proportionnels à leurs angles rectilignes correspondan(s IKLef MN O.
Il peut se présenter deux cas, suivant que les angles IK.L et MNO seront commensurables ou qu’ils ne le seront pas.
\ ° Supposons que les angles I K. L et M N O soient commensurables , et que leur commune mesure soit contenue 5 fois dans le premier et 3 fois dans le second ; le rapport des deux angles IKL et MNO sera donc f. Si par les droites de division et les arêtes RC et FC on fait passer des plans, on aura partage les angles dièdres ABCD et EFGIl respectivement en 5 et en 3 parties égales, et comme les parlies du premier sont égales à celles du second (473), car il en est ainsi des subdivisions des angles IK.L et MNO, on voit que le rapport de ABCD à EFG H est aussi jj; donc
ABCD : EFGH::IKL : MNO.
2° Supposons que les angles 1K.L et MNO soient Fig. 224. incommensurables. Je partage l’angle MNO en un nombre quelconque de parties égales, et je porte l’une de ces parties sur IK.F., autant de fois qu’elle pourra y être contenue : soit QlvL le reste que je trouverai ainsi;
je fais passer un plan par la droite QK et par l’arête BG, et comme les angles IRQ et MIS O sont conuncnsttrablcs, etc. (').
Théorème X.
48iî. Un angle dièdre a pour mesure l'angle rectiligne correspondant.
Mesurer un angle dièdre, c’est chercher le rapport de cet angleà un autre angle dièdre pris pour unité. Si donc A est l’angle dièdre à mesurer et D l’unité d’angle dièdre, la mesure de A sera le rapport de A à D. Mais nous venons de voir que deux angles dièdres sont proportionnels à leurs angles rectilignes correspondants : si donc B et G
représentent ces angles rectilignes, le rapport sera le
même que celui - , et par conséquent ce dernier sera la
mesure de A. Or, si l’on convient de prendre l’angle C pour unité d’angle rectiligne, le rapport sera la mesure
de l’angle B : donc la mesure de l’angle B sera aussi celle de l’angle dièdre A ; donc un angle, dièdre a pour mesure son angle rectiligne correspondant (’) , en attachant à cette manière de s’énoncer le sens que nous avons expliqué au n° 110.
( 1 ) On peut dire avec Ampère:
Fig. 224. Portons l'angle MNO sur 1KL autant de fois rpic la chose sera possible , nous trouverons qu’il y est contenu deux fois avec le reste QK L , de sorte que
I K Lr=2 MNO + QKL.
Mais si nous faisons passer des plans par les droites de division KQKP, et par l’arête BC, nous formerons les deux angles dièdres PBC1 et QBCP égaux à EFGII (473), etc.
(*) On pourrait demander si un angle dièdre peut avoir pour mesure un angle rectiligne autre que celui qui est formé par deux perpendiculaires menées dans chaque face sur l’arête et au même point. Si cela était, il faudrait d’abord que les deux côtés de cet angle fussent également inclinés sur l’arête : car l’angle dièdre et l'angle rectiiignc qui lui sert de mesure devant varier
UES ANGLES 1)1 K DU ES ET l’OLYÈDBES.
4 RG. Sciioi.iE. Si l’on compare les énoncés des théorèmes lOo, 10G, 108, et 109, à ceux des propositions 473, 474 , et 488, on verra que l’angle rectiligne correspondant à un angle dièdre est, à l’égard de cet angle dièdre, ce qu’est à l’égard d’un angle rectiligne l’are compris entre scs côtés, et décrit de son sommet comme centre.
Remarquons encore que, les angles dièdres étant dans l’espace ce que sont les angles rectilignes sur le plan où ils sont tracés, on peut en conclure que, quand deux plans se coupent , les angles dièdres adjacents valent ensemble deux angles dièdres droits , et que ceux qui sont opposés par l'arête sont égaux ; que , quand deux plans parallèles sont coupés par un troisième, les angles dièdres altemes-in ternes , ou allernes-exlcrnes^ni correspondants , sont égaux, etc.
11 suffirait, pour le démontrer, de mener un plan per-
daus le meme rapport , il faut nécessairement que le second devienne nul eu même temps que le premier. Cela posé, considérons les trois angles dièdres ABCQ , QB C D et A II CD et sup- Fig. 224. posons qu’ayant tracé dans leurs faces les droites Kl, KQ et KL, on ait la suite de rapports égaux,
abcq:ikq:: qbcd:qkl:: abcd:ikl;
ou en tirera :
abcq + qbcd:ikq-i-qkl ::abcd:ikl.
Mais les antécédents de cette proportion sont égaux : donc les conséquents doivent l’être aussi. Donc
IKL = IKQ + QKL,
cc qui exige que les trois droites Kl, Q K et KL soient dans un même plan , sans quoi on pourrait les regarder comme étant lesarétesd'un angle trièdre, et l’on aurait en conséquence (493): IKL<<[IKQ-j-QKL. Cela posé , si l’on prend les trois distances égales K I, KQ et K L , et que l’on joigne B I , B Q et B I., ccs trois dernières lignes seront trois obliques égales menées du point B sur le plan KIQL, car les triangles BKI, BKQ et B KL, ont un angle égal compris entre côtés égaux. Donc la perpendiculaire abaissée du point B sur ce plan tombera en K , et coïncidera ainsi avccBK. Donc, pour que l’angle I K L puisse servir de mesure à l’angle dièdre AB CD, il faut que ses côtés soient perpendiculaires à l’arête de cet augle dièdre.
IG
pcndiculaire à l’arête de l’un des angles dièdres que l’on eomparc.
On devra observer toutefois que tes réciproques de ces dernières propositions ne sont vraies qu’ autant que les angles dièdres dont il s'agit ont leurs arêtes parallèles ; car deux plans qui ue sont pas parallèles peuvent très-bien former des angles égaux avec un troisième.
Fig. 225. 487. On appelle angle polyèdre la portion in-
définie de l'espace comprise entre plusieurs plans qui passent par le même point , et qui se terminent h leurs communes intersections. Ce point est le sommet de l’angle polyèdre, ces intersections en sont les arêtes, et les angles plans que chacune forme avec la suivante en sont les faces. Ainsi S est le sommet de l’angle polyèdre SABCDE; les droites SA,i>B, SC, SD, SE, sont ses arêtes, et les angles ASB, BSC, CSD, DSE, ES A, sont ses faces. On désigne, comme on voit, un angle polyèdre par la lettre du sommet suivie de celles qui sont placées respectivement sur un point de chaque arête. Souvent aussi on le dénomme par la lettre seule de son sommet; mais il faut pour cela que ce sommet ne soit pas commun à d’autres angles polyèdres. Ainsi, dans la figure 225, nous dirons très-bien l’angle S pour designer l’angle polyèdre SABCDE.
488. Si une ligne droite, tracée d’une manière quelconque, ne peut rencontrer la surface d’un angle polyèdre eu plus de deux points, ou dit que cet angle polyèdre est convexe ou à angles dièdres saillants ; dans le cas contraire, il est dit concave ou à angles
■ dièdres i entrants . L’angle S de la figure 225 est con vexe, et celui T de la figure 226 est concave. Les an-
Fig. 226. gles dièdres saillants de ce dernier sont TA, TB, Tl), TE, TF,TG, et il n’a qu’un angle dièdre rentrant TC. Cet angle rentrant vaut quatre angles dièdres droits, moins l’angle dièdre BTCD, qui nous présente son ouverture.
