Quand nous parlerons d’un angle polyèdre, il

DUS ANGLES DIÈDRES ET POLYÈDRES. 2*3 s'agira toujours d’un angle convexe, à moins que nous n’exprimions le contraire.

490. On distingue les angles polyèdres d’après le nombre de leurs faces ou de leurs angles dièdres, et on leur a donne des noms qui désignent précisément le nombre de ces faces ou de ces angles dièdres. Ainsi on appelle

angle tri aire ou simplement trièdre l’angle polyèdre

qui a 3 faces,

angle tétraèdre , un angle polyèdre qui a. . . . 4

angle pentaèdre 5

angle hexaèdre 6

etc.

Remarquons que le trièdre est le plus simple des angles polyèdres , et que l’on peut partager un angle polyèdre quelconque en trièdres, comme on partage un polygone en triangles.

Théorème XI.

491. Si d’un point S', pris dans /'intérieur d’un Fig. 227. trièdre S, on abaisse sur ses faces A SIÎ, ASC et BSC,

les perpendiculaires respectives S'C', S' B' et S'A', et que par ces perpendiculaires prises deux à deux, on fasse passer des plans , on formera un second trièdre S', et les deux trièdres S et S' jouiront de ces deux propriétés } 1° que les arêtes de chacun seront perpendiculaires aux faces de l’autre ; 2" que les faces de chacun seront les suppléments des angles dièdres de l’autre.

1 ° On voit que l’arête SA , par exemple , est perpendiculaire à la face B'S C', dont les arêtes sont supposées perpendiculaires aux faces AS B et ASC adjacentes à SA; car le plan B' S'C' est perpendiculaire à la fois aux deux plans ASB et ASC (479), et par conséquent à leur commune section SA (491).

2° Je dis que l’angle dièdre C'S'B'A', dont l’arête SB' est perpendiculaire au plan de la face ASC , a cette face pour supplément. Eu effet, cette arête étant

perpendiculaire aux traces AH' et B'C des faces C'S'B ctA'S'B sur le plan ASC, l’angle AB Cest le rectiligne correspondant à l’angle dièdre S'B'; mais la somme des angles du quadrilatère convexe SAB'C (on a pu choisir le point S' de manière que les perpendiculaires issues de ce point tombent sur les faces de S et non sur leurs prolongements) vaut quatre droits; et comme les angles A et C sont droits, puisque les arêtes SA et SC sont perpendiculaires aux faces B'S'C' et B' S'A', on voit que les angles ASC cl A B'C sont supplémentaires.

492. Scholie. Les deux trièdres S et S' sont dits supplémentaires l’un de l’autre , parce que chaque face de l’un est le supplément de celui des angles dièdres de l’autre dont l’arête est perpendiculaire au plan de cette face.

Remarquons que ces trièdres seraient encore supplémentaires, quelle que fût la position du sommet S', si les arêtes de ce dernier étaient encore dirigées dans le même sens par rapport aux faces du trièdre S ; car on pourrait regarder cet angle S' comme • étant le trièdre supplémentaire de S, que l’on aurait transporté daus l’espace (496).

Théorème XII.

495. Dans tout trièdre une face quelconque est plus petite que la somme des deux autres et plus grande que leur différence.

228; 1° Soit ASC la plus grande des trois faces : je dis

que ASC < AS B +■ BSC.

Traçons, en effet, dans le plan de la face ASC la droite SD, qui fasse avec SC un angle DSC = BSG, et tirons la droite AC d’un point quelconque do SA à un autre point quelconque de SC. Cette droite coupera SD en un certain poifit D. Prenons ensuite SB = SD, et joignons B A et BC. Le triangle BSC est égal à DSC : Donc DC = B C. Or la droite AC est plus petite que la ligne brisée ABC: donc, en retranchant d’une part D C , et de l’autre son égale B C , il restera AD < A B. Mais le côté S A est commun aux deux

DES ANGLES DIÈDRES ET POLYÈDRES. 245 triangles ASD et ASB, et SD = SB : donc l’angle ASD; opposé au côté AD , est plus petit cpie l’angle ASB opposé au côté correspondant AB. Si donc on ajoute au premier l’angle DSC, et au second l’angle égal BSC , on aura ASD + DSC, c'est-à-dire ASC < ASB + BSC, ce qu’il fallait démontrer.

2° La seconde partie du théorème est une conséquence nécessaire de la première.

Théorème XIII.

494. Dans tout angle polyèdre convexe S /«Fig. 225. somme des faces est plus petite que quatre droits.

Coupons l’angle polyèdre proposé S par un plan qui rencontre toutes ses arêtes ('), et soit ABCDE le polygone formé par les traces de ce plan sur les faces de S. Prenons dans l’intérieur de ce polygone un point quelconque O, et joignons-le à tous les sommets A, B,

C, D, E : nous formerons autour de ce point autant de triangles qu’il y en a autour de S, de sorte que la somme des angles des uns sera égale à celle des angles des autres; par conséquent, si l’on démontre que la somme des angles à la base des premiers triangles est moindre que la somme des angles à la base des seconds, on devra en conclure que, par compensation, la somme des angles autour du sommet S sera moindre que celle des angles autour du sommet O ; et , comme celle-ci vaut quatre droits , le théorème se trouvera ainsi démontré.

Or, au point A nous avons un trièdre formé par les plans SAE, E AB et BAS; donc, en vertu du théorème précédent l’angle EAB, c’est-à-dire EAÜ + OAB,

( ') I.a chose sera toujours possible. Prolongeons , en effet , les plans de deux faces non adjacentes jusqu’il leur rencontre, nous formerons un angle dièdre, dans lequel l’angle polyèdre sera compris; car, puisqu’il est convexe, le plan d’aucune de ses faces ne peut rencontrer sa surface. Si donc on mène par l’arête de cet angle dièdre un plan qui lui soit extérieur, les arêtes de l’angle S seront toutes situées d’un même côté de ce plan , de sorte qu’en faisant passer par un point de l’une de ces arêtes un plan parallèle à celui-ci, il coupera toutes les autres arêtes.

est moindre que S A E + SA B. On verra de même que ABO 4- OBG <SBA + S BC, et ainsi de suite : donc la somme des angles à la base de tous les triangles dont le sommet est en O est plus petite que la somme des angles à la base des triangles dont le sommet est en S. Ainsi dans tout angle polyèdre convexe la somme des faces est moindre que quatre angles droits.

Cette démonstration exige bien que l’angle S soit convexe : car, si l’angle dièdre SB, par exemple, était rentrant , au lieu d’avoir ABO-4-OBC<SBA-|-SBC, on aurait h — ( ABO + OBC)< SBA + SBC; ainsi le théorème ne serait plus vrai.

Théorème XIV.

493. La somme des anlges dièdres d'un trièdre quelconque est plus grande que deux dmits , et plus petite que six droits.

Construisons, en effet, le trièdre S' supplémentaire du trièdre proposé S. La somme des angles dièdres de celui-ci , augmentée de celle des faces de l’autre, formera six droits : donc la somme de ces angles dièdres est moindre que six droits. D’un autre côté, la somme des faces de S' est moindre que quatre droits : donc la somme des angles dièdres de S est plus grande que deux droits, puisque ces deux sommes réunies forment six droits.

Théorème XV.

Fig. 229. 496. Si deux trièdres S et S' ont leurs faces égales

chacune a chacune, savoir : ASC = A'S'C, ASB = A'S'B', et BSC = B'S'C', leurs angles dièdres homologues, c’est-à-dire ceux qui sont opposés à des faces égales, sont égaux.

Prenons sur les arêtes des deux trièdres les six distances égales SA, SB, SC, S'A’, S'B' S'C' et joignons AB, AC, BC, AB', A'C, B'C’. Nous formerons ainsi six triangles isocèles égaux chacun à chacun (139) : donc AB = A'B, 1ÎC = B'C' et AC = A'C', d’où il suit que les triangles ABC et A B C' sont égaux et que par

conséquent leurs angles homologues le sont aussi. Cela posé, pour démontrer que l’angle dièdre SA, par exemple, est égal à S'A', je mène par un point quelconque E de son arête un plan G EF qui lui soit perpendiculaire et les tracés de ce plan sur ceux des faces ASB et ASC formeront l’angle rectiligne correspondant au dièdre SA. Je prends ensuite A'E'^= A E et je mène de même par le point E' un plan G'E'F' perpendiculaire à S'A'. Il s’agit de prouver que l’angle GEF = G'E'F'. Or, j’observe d’abord que les côtés de ces angles étant respectivement perpendiculaires à SA et à S'A' rencontreront nécessairement AB et AC en F et en G, A'B' et A'C' en F' et en G' (63); je tire donc FG et F'G' et je forme ainsi deux triangles EFG et E'F'G' que je dis être égaux (167). En effet, les triangles E AG et E'A'G'sont égaux(lGl), donc EG=E'G' et AG = A'G'. Par une raison semblable, EF = E'F' et AF = A'F'; donc les triangles AFG et A'F'G' ont un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun, donc FG = F'G' et par conséquent l’angle FEG = F'E'G'.

Théorème XVI.

497. Deux triedres sont égaux lorsqu'ils ont leurs faces égales chacune a chacune et semblablement disposées (‘).

Portons, en effet, le trièdre S' sur le trièdre S, en plaçant la face A'S'B' sur son égale ASB de manière (pie leurs arêtes homologues coïncident. Alors le plan de la face A'S'C' tombera sur celui de ASC, puisque les deux angles dièdres S A etS'A' sont égaux (496), et que, les faces homologues étant semblablement disposées, les arêtes SC et S'C' doivent sc trouver d’un même côté du plan commun ASB; mais l’angle A'S C'=ASC, (*)

(*) C'est-à-dire que , si l’on place deux faces égales l’une sur l’autre en faisant coïncider leurs arêtes homologues, les deux arêtes restantes seront situées d’un même côté de la face commune.

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ilonc , l’arête S'C' sc dirigera suivant SC, et les deux faces B' S'C' et BSC coïncideront nécessairement.

498. Sctiolik i. Si les faces homologues n’étaient pas semblablement disposées, il arriverait que, quand on aurait superposé les faces A'S'B' et AS B, eu plaçant S'A' sur SA et SB' sur SB, il arriverait, dis-je, que les arêtes S'C' et SC se trouveraient de part et d’autre du plan A SB, de sorte que la coïncidence des deux trièdres n’aurait plus lieu. En vain voudrait-on renverser le trièdre S' sens dessus dessous, et placer S'A' sur SB et S'B' sur SA, afin de ramener les deux arêtes S'C' et SC d’un même côté du plan AS B : car alors le dièdre S'A' répondrait au dièdre SB; et, comme ces dièdres sont inégaux aussi bien que les faces A'S'C' et BSC, il serait toujours impossible de faire coïncider les trièdres S et S', bien que toutes leurs parties homologues soient égales. Un dit alors que les deux trièdres sont symétriques. Ainsi, nous appellerons trièdres symétriques deux trièdres qui amont toutes leurs parties constituantes égales chacune a chacune, mais disposées dans un ordre inverse .

. Un forme immédiatement le trièdre symétrique d’un trièdre donné en prolongeant les arêtes de celui-ci, et prenant pour scs faces les angles plans opposés par le sommet à celles de ce trièdre. Un voit, en effet, que si Fig. 230. l' ou fait faire une demi-révolution à l’angle B'S A' dans son plan et autour de son sommet S, ses côtés S'A' et SB' viendront s’appliquer respectivement sur SA et SB, mais que les arêtes S'C' et SC resteront de part et d’autre du plan commun.

Soit SC" la position qu’occupe alors 1 arête S C'. Je dis que les deux arêtes SC et SC" sont situées dans un plan perpendiculaire à ASB, et sont également inclinées sur ASB. Prenons, en effet, SC"=SC, et joignons CC" : il suffira de démontrer que le plan ASB est perpendiculaire sur le milieu de CC" (478 et 489). Pour cela, je joins les points C et C* avec deux points quclcortqucs A et B des arêtes SA et SB, cc qui

DBS ANGLES DIÈDRES ET POLYÈDRES. 2i9

forme les triangles égaux CSA et C"SA, CSH et C"SB (189) : donc CA = C'A, et CB = C'B; donc , si l’on joint le milieu O de CC" avec les points S, A,

B, les trois droites S O, AO et B O seront perpendiculaires à CC'' (60), et par consécpient détermineront un plan perpendiculaire sur le milieu de CC''(452).

Mais ce plan n’est autre que ASB : donc, etc.

On voit par là que les deux trièdres SABC et S" ABC sont symétriquement placés de part et d’autre du plan ASB, et voilà pourquoi Legendre les a appelés angles trièdres symétriques (’).

On conçoit que deux angles polyèdres quelconques concaves ou convexes 5 et S' peuvent avoir toutes leurs pjg # 225. faces consécutives égales chacune à chacune , savoir :

ASB= A'S'B', BSC = B'S'C', CSD = CW, etc., mais disposées dans un ordre inverse; et leurs angles dièdres homologues (ceux qui sont compris entre des faces égales), SA et S'A', SB et S'B', SC et SC', etc., égaux. Alors, si l’on place la face A'S'B', par exemple, sur son égale ASB, en faisant coïncider leurs arêtes homologues, toutes les autres arêtes homologues des deux angles S et S' seront situées de part et d’autre du plan commun ASB, de sorte que ces deux angles polyèdres ne pourront pas coïncider, bien que toutes leurs parties constituantes soient égales. Nous dirons donc encore qu’ils sont symétriques.

490. Scholie ii. Dans les figures planes il n’y a point, à proprement parler, d’égalité par symétrie : car, comme le dit Legendre , toutes celles qu’on voudrait appeler ainsi seraient des égalités absolues ou de superposition. Si l’on abaisse, en effet, de tous les sommets d'un polygone A BCD E, des perpendiculaires Fig. 231.

(') Deux points sont dits symétriques par rapport à upc droite ou à un plan , lorsque cette droite ou ce plan est perpendiculaire ti la droite qui les unit. Si deux corps sont tels que tous les points de l’un soient les symétriques de ceux de l’autre, on dit que ces corps sont symétriques. Ün corps et son image sont symétriques.

sur une droite quelconque XY, tracée dans son plan , qu’on prolonge chacune d’elles d’une quantité égale à elle-même, et que l’on joigne deux à deux leurs extrémités, on formera un polygone A'B'C'DE', qui aura ses angles et ses cotés égaux chacun aux angles et aux côtés du polygone ABCDE, et disposés dans un ordre inverse. Cependant il suffira, pour superposer ces deux polygones, de plier la figure le long de X Y. Ainsi, ces polygones sont réellement symétriques par rapport à la droite XY, que l’on appelle en conséqueuce leur axe de symétrie ; mais ils ne sont pas symétriques dans le sens que nous avons attaché à cette Fig. 230. expression en parlant des trièdres S ABC et S"ABC. C’est qu’en effet on peut prendre indifféremment le dessus pour le dessous d’une figure plane, et vice versa, et qu’il n’en est pas ainsi pour les figures qui réunissent les trois dimensions de l’étendue.

Théorème XVII.

«00. Deux trièdres S et S' sont égaux lorsque leurs angles dièdres sont égaux chacun à chacun , et que leurs faces homologues sont semblablement disposées.

Si l’on construit, en effet, les deux trièdres supplémentaires T et T' des trièdres S et S', ils auront leurs faces homologues égales chacune à chacune (401), et par conséquent leurs angles dièdres homologues égaux chacun à chacun (49(>) : donc les trièdres S et S'auront ainsi leurs faces homologues égales et, par hypothèse, semblablement disposées; donc ils sont égaux.

Théorème XVIII.

« 01 . Deux trièdres sont égaux lorsqu’ils ont un angle dièdre égal compris entre deux faces égales chacune h chacune, et semblablement disposées.

Répétez ici la démonstration du n° 497.

Théorème XIX.

302. Deux triedres sont égaux lorsqu'ils ont une face égale adjacente a deux angles dièdres égaux chacun h chacun , et que leurs faces homologues sont semblablement disposées. •

La démonstration est analogue h celle du n° 497.

303. SciiouE. Si les éléments dont l’égalité constitue celle des deux triedres, étaient disposés dans un ordre inverse, ces deux triedres seraient symétriques.

On conçoit, en effet, que si l’on construit le symétrique du premier de cés triedres, il sera égal au second, en vertu de l’un de nos trois derniers théorèmes.

Théorème XX.

304. Pour qu'avec trois angles plans donnés on puisse construire un angle trièdre, il faut et il suffit que leur somme soit moindre que quatre angles droits } et que le plus grand soit plus petit que la somme des deux autres.

Ces conditions sont nécessaires, en vertu des théorèmes 493 et 494 ; ainsi il s’agit de démontrer qu’elles sont suffisantes.

Traçons sur un plan trois angles G'SA, ASB et Fig. 232. C'SB égaux aux trois angles donnés, et supposons que AS B soit le plus grand. Je décris du point S comme centre et avec un rayon arbitraire l’arc C'A'B'C": l’arc A B' sera plus grand que chacun des arcs C'A' et C"B et plus petit que leur somme ; si donc on abaisse des points G' et C" des perpendiculaires C'AM et C BN sur SA et sur SB, le point M sera situé entre A' et B', et le point N entre A' et M, de sorte que les cordes C' M et C 'N se couperont dans l’intérieur de la circonférence. Donc C'A>AO. Par conséquent, si au point ü on élève une perpendiculaire OC au plan ASB, et que dans le plan déterminé par cette droite et par AO on décrive un arc de cercle du centre A avec le rayon AC', cet arc coupera cette perpendiculaire en un

point C, et je dis qu’en faisant passer des plans par ce point et par les droites SA et SB, on formera un angle trièdre S ABC dont les faces seront précisément égales aux trois angles donnés. En effet , les triangles SAC et SAC' ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun , car CA est perpendiculaire sur SA (459) ; donc l’angle ASC est égal à ASC' et SC = SC' = SC*. Il suit de là que les triangles rectangles SBC et SBC" ont l’hypotcnuse égale et un côté égal, et que par conséquent l’angle CSB = C"SB', ce qui achève de démontrer notre proposition.

iîOîî. Théorèmes a démontrer. 1° Deux plans perpendiculaires a un troisième et passant par deux droites parallèles et qui ne sont pas perpendiculaires a ce troisième plan sont parallèles.

2° Le lieu de tous les points équidistants de deux plans donnés est le système des deux plans qui divisent en deux parties égales les angles dièdres formés par ces plans.

3° Le lieu de tous tes points équidistants des trois faces d'un angle trièdre est la droite suivant laquelle se coupent les plans qui divisent ses trois angles dièdres chacun en deux parties égales.

4° Dans un trièdre isoèdre, c’est-à-dire qui a deux faces égales , les angles dièdres opposés aux faces égales sont égaux; et réciproquement , si deux angles dièdres d’un trièdre sont égaux , les faces qui leur sont opposées seront égales.

5° Dans tout trièdre, le plus grand angle dièdre est opposé h la plus grande face; et réciproquement , la plus grande face est opposée au plus grand angle dièdre.