CHAPITRE PREMIER

DES DIFFÉRENTES ESPÈCES DE SURFACES COURBES, ET DE LEURS PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES.

808. Si l’on fait mouvoir une ligne dans l’espace, il pourra arriver, ou qu’elle conserve sa forme en changeant de position, ou qu’elle varie en même temps de forme et de position. Dans les deux cas, on conçoit que cette ligne engendrera ainsi une surface; car il est clair que le lieu de toutes ses positions successives partagera l’espace en deux parties auxquelles il servira de limite. La nature de la surface ainsi engendrée dépend donc des lois qui règlent à chaque instant la forme de la ligne mobile que l’on nomme la génératrice de la surface et sa position dans l'espace.

On voit donc que toute surface peut être regardée comme engendrée par le mouvement d’une ligne de forme constante ou variable dans l'espace, et que cette surface sera complètement déterminée lorsqu’on sera en état de construire, pour un point quelconque, la génératrice suivant la forme et la position qu’elle doit avoir en passant par ce point. On détermine ordinairement les positions successives de la génératrice en l’assujettissant à se mouvoir sur une ou plusieurs lignes fixes que l’on appelle directrices.

Ainsi nous avons vu que l’on engendrerait un plan en faisant glisser une ligne droite parallèlement à ellemême le long d’une autre droite (428). La première est la génératrice , et fa deuxième est la directrice. Ici la forme de la génératrice est constante.

Si l’on fait tourner une ligne quelconque CMD autour d’une droite fixe AB, on engendrera une surface que l’on appelle de révolution , et la forme de sa géné-

Fig. 233.

254 LEÇONS DE GÉOMÉTH1B.

• ratricc sera encore constante. Mais si l’on observe que dans le mouvement de celte courbe les perpendiculaires abaissées de ces différents points sur l'axe de révolution AB décrivent des circonférences qui ont pour centres les points où elles coupent cet axe, on comprendra que l’on pourra encore regarder la surface comme engendrée par une circonférence qui se mouvrait de telle sorte que son centre étant toujours sur la droite AB, et son plan étant toujours perpendiculaire à cette droite, son rayon soit, à chaque instant, égal à la distance des points oit son plan coupe les deux lignes AB et ■CMI) données dans l’espace. Alors la courbe génératrice change en même temps de forme et de position.

Théorème I.

i507. Toutes les tangentes ( l ) aux différentes courbes que Ton peut tracer sur une surface par l’un de ses points sont dans un même plan, que Ton appelle en conséquence le plan tangent a la surface en ce point.

Fig. 234. En effet, soit M un point quelconque d’une surface, AB la forme et la position de la génératrice quand elle passe par ce point, CD une directrice de AB, et CF une autre courbe quelconque tracée par le point M sur la surface. 11 est clair que si l’on prouve que la tangente à cette dernière courbe au point M est dans le plan déterminé par les tangentes menées aux deux autres courbes AB et CD en ce même point, notre théorème sera démontré.

Pour y parvenir, considérons la génératrice dans une autre position A'B', et soient M' et N' les points où elle coupe CD et FG. Par les trois points M , M' et N' pris deux à deux, menons les sécantes MM', MN' et (*)

(*) Si l’on étend A une courbe quelconque la définition que nous avons donnée de la tangente à une circonférence (83), on appellera tabgp.htf. à une courbe , en un point donné , la limite vers laquelle tend la direction d'une sécante que l’on Jait tourner autour de ce point, jusqu'à ce qu’un second point d’intersection vienne coïncider avec le premier.

Il suit de lit qu’on peut considérer la tangente comme une droite qui passe par deux points infiniment voisins sur la courbe ou qui a un élément de commun avec die.