DES SURFACES COURBES EN GÉNÉRAL

M N , qui seront évidemment dans un même plan. Si l’on suppose maintenant que la génératrice A’ II' glisse sur CD, en se rapprochant de AB, elle entraînera dans son mouvement nos trois sécantes, et leur plan tournera en même temps autour de M. Enfin, quand la génératrice sera revenue à la position AB, les points M' et N' coïncideront avec le point M, et les trois sécantes mobiles seront devenues tangentes aux trois courbes respectives CD, GF et AB. Mais ces trois sécantes étaient , pour chaque position de la génératrice, toujours dans un même plan : nous devons donc conclure que, quand elles sont devenues tangentes, elles doivent se trouver encore dans un même plan, lequel est la limite des positions successives de celui des trois sécantes.

SOU. Comme deux droites qui se coupent suffisent pour déterminer un plan , on voit que, pour mener un plein tangent h une surface en un point donné , il suf- Jira de construire les tangentes à deux lignes tracées sur la surface par ce point , et de faire passer un plan par ces deux d/vites.

iîüî). U suit du théorème précédent que le plan tangent à une surface peut être considéré comme ayant de commun avec elle un élément superficiel formé par l’ensemble de tous les éléments linéaires qui sont communs aux courbes passant par le point de contact et à leurs tangentes. On pourra donc regarder une surface courbe comme composée d’une infinité de facettés planes infiniment petites que l’on nomme ses éléments.

11 est vrai que l’on substitue ainsi à la surface proposée une surface poljedrale dont les faces sont infiniment petites, mais toute propriété qui, dans une pareille surface , sera vraie quelles que soient la grandeur absolue de ces faces et leurs inclinaisons mutuelles, subsistera lorsque le nombre de scs faces deviendra plus grand et qu’elles diminueront de plus en plus, de sorte que la propriété dont il s’agit aura lieu pareillement lorsque l’on passera à la limite, c’est-à-dire quand on considérera la surface courbe proposée.

*S10. Les surfaces que l’on emploie le plus fréquemment dans les arts sont celles qui ont pour génératrices la ligne droite et la circonférence.

Parmi ccs dernières on distingue spécialement celle qui est produite en faisant tourner une ligne quelconque autour d’un axe fixe, et que nous avons nommée surface de révolution. Les plans perpendiculaires à l’axe coupent tous la surface suivant des circonférences dont les centres sont sur cet axe, et qui sont généralement inégales. On les nomme des parallèles. Les plans qui passent par l’axe coupent la surface suivant des courbes que l’ori appelle méridiennes et qui Fig. 233. sont toutes égales entre elles. Soient, en effet, CMD et CM'D deux méridiennes quelconques et MQ et M'Q, Nil et N'R, PS et P'S, ... les traces de leurs plans sur ceux de différents parallèles. Les angles M QM', N R IN PSP' . . . seront égaux, puisqu’ils correspondent à un même angle dièdre AlCDM', et comme M Q = M'Q , Nll = N'R, PS = P'S, . . ... on voit que si l’on fait tourner le plan CN 'D de la quantité angulaire M Q M/, tous les points M', N', P'... viendront se rabattre respectivement sur M, N, P, . . . de sorte que la courbe CM'D recouvrira exactement la courbe CMD.

*81 1. Le plan tangent à une surface de révolution est perpendiculaire au plan du méridien sur lequel le point de contact est situé. En effet, la tangente menée par ce point au parallèle sur lequel il se trouve est perpendiculaire à l’intersection de ce parallèle et du méridien i84); et, comme ces deux plans sont perpendiculaires entre eux, elle est perpendiculaire au méridien (479) : donc le plan tangent lui est perpendiculaire (478).

* 342. Il y a deux espèces de surfaces engendrées par une ligne droite : les surfaces gauches et les su faces développables. On comprend les unes et les autres sous la dénomination commune de surfaces réglées , parce que l’on peut appliquer l’arête d’une règle sur ces surfaces.

* i>13. Le caractère distinctif des surfaces gauches consiste en ce que deux génératrices consécuti ves ne sont jamais dans un même plan, de sorte que t élément (809) de la surface compris entre ces deux droites n’est pas plan. C’est un élément courbe qui est illimité dans le sens des droites qui le comprennent.

On satisfait ti-ès-simplcinent à cçttc condition , c’cst-