UES SURFACES COURUES EN GÉNÉRAL

à-ilire qu’on cngcnilrc une surface gauche en faisant glisser une ligne droite sur trois droites qui , prises deux à deux, ne sont pas parallèles à un même plan , ou bien en faisant mouvoir une ligne droite parallèlement à un plan fixe, de manière qu’elle s’appuie constamment sur deux droites situées dans des plans différents et dont aucune n’est parallèle au plan fixe.

11 est d’abord facile de voir que l’une ou l’autre de ces conditions suffit pour régler le mouvement de la génératrice : car, si, dans le premier cas, on prend un point quelconque M sur la directrice A, et que par Fig. 235. ce point et chacune des deux autres directrices B et € on fasse passer des plans, leur intersection MN rencontrera les deux droites B et C : car, si elle était parallèle à toutes deux, tout plan parallèle au plan AMN serait parallèle à. nos trois directrices, ce qui est contraire à l’hypothèse. Réciproquement, toute droite qui, menée par le point M, rencontrera les droites B et C, sera dans nos deux plans , et , par conséquence , coïncidera avec RIN.

Pour construire, dans le deuxième cas, la génératrice qui rencontrerait la directrice A en un point ( quelconque M , meuez par ce point un plan parallèle au plan directeur, et joignez le point M avec celui où ce plan auxiliaire rencontrera la deuxième directrice.

Ainsi, dans une échelle dont les deux montants ne seraient pas dans un même plan, les échelons, supposés également espacés, seraient les génératrices d’une surface gauche dont ces montants seraient les directrices ( 462 ).

Remarquons que, dans ces deux modes de génération, deux génératrices quelconques ne peuvent pas se trouver dans un même plan, sans quoi les directrices seraient aussi situées dans ce plan , ce qui 11e se peut.

* a 14 . Les surfaces gauches qui ont pour directrices des ligues droites, jouissent d’une propriété trèsremarquable dont on trouvera la démonstration synthé-

2Ô8 LEÇONS DE GKOMKTBIB.

tique dans la Géométrie descriptive de M. Leroy, celle de pouvoir être engendrées par une droite de deux manières différentes. Ainsi, que parmi toutes les droites qui s’appuient sur les trois directrices A, B, C, on on choisisse trois à volonté A' , B', C', et que l’on fasse mouvoir une ligne droite sur ces trois dernières : clic engendrera encore la même surface. D’où il suit, comme l’observe Monge , que cette surface pourrait s’exécuter comme un tissu. Les fds de la chaîne seraient toutes les génératrices de l’un des modes de génération , et ceux de la trame seraient les génératrices de l’autre.

* 616. Si une droite se meut de manière que, dans deux positions consécutives, elle se trouve dans un même plan , elle engendrera une surface développable, c'est-à-dire une surface dont tous les éléments pourront être réunis dans un seul et même plan SANS DÉCHIRURE NI DUPLICATURE. En effet, si l’on fait tourner chaque élément avec la portion de surface qui lui est adjacente autour de la droite qui 1e sépare de l’élément précédent, - on pourra amener le deuxième élément sur le plan du premier , le troisième sur ce même plan, et ainsi de suite, de sorte que la surface tout entière viendra s’étendre sur le plan sans rupture ni duplicalure.

* »H6. Si l’on considère une courbe à double courbure , c’est-à-dire telle que trois éléments consécutifs de celle courbe ne soient pas dans un même plan , comme une brisée d’un nombre infini de côtés infiniment petits, et qu’on prolonge indéfiniment chacun de ses éléments, on formera évidemment une surface développable : car deux de ces droites consécutives sont dans un même plaiK Ainsi, l’on engendrera une surface développable en faisant glisser une ligne droite sur une courbe à double courbure de manière qu’elle lui soit constamment tangente pJ07,(*j]. I-a surface est ainsi composée de deux nappes iudéfiuics séparées par la

DES SURFACES COURBES EN GÉNÉRAL. 259 courbe directrice, que Monge a nommée l'arête de rebroussement de la surface.

* 817 . 11 suit du n° 507 que le plan tangent à une surface réglée en un point donné, doit contenir la génératrice qui passe par ce point : car cette droite est elle-même sa propre tangente. Par conséquent, pour construire le plan tangent à une surface gauche eu un point donné, il suffira de mener un plan par les deux génératrices qui passent par ce point (514); et, comme deux génératrices d’un même système tic sont pas dans un même plan (513), on voit que les plans tangents menés à une surface gauche en deux points différents d’une même génératrice , sont différents; de sorte que le plan tangent à une pareille surface coupe celte surface partout ailleurs qu’au point de contact.

* 518. Au contraire, le plan tangent à une surface développable en un point donné est tangent à cette surface dans tous les points de la génératrice qui passe par ce point. En effet, si l’on trace par le point de contact une courbe quelconque sur la surface, il est clair que la tangente à cette courbe en ce point, aura un élément dans le plan de la génératrice dont il s’agit et de la suivante : donc elle y sera tout entière; donc ce plan sera bien un plan tangent à tous les points de cette génératrice.

519. On appelle normale la perpendiculaire au plan tangent menée par le point de contact.