Pour que deux circonférences se coupent

il faut et il suffit que la distance de leurs centres soit plus petite que la somme de leurs rayons , et * plus grande que leur différence.

Prouvons d’abord que ces deux conditions sont nécessaires, et nous ferons voir ensuite quelles sont suffisantes.

Fig. 28. 1 ° Soient O et O' les centres de deux circonférences

qui se coupent : la droite OO' sera perpendiculaire sur le milieu de la corde qui joint leurs points d’intersection A et B , de sorte que ces points seront situés de part et d’autre de cette droite; si donc on tire OA et O'A, on aura

ÛO'<OA + O'A et 0A<00' + 0'A, d’où üO'>OA — O'A, en supposant 0A>0'A. Donc, quand deux cercles se coupent , la distance des centres est plus petite que la somme de leurs rayons et plus grande que leur différence. Ces deux conditions sont donc nécessaires pour qu’il y ait intersection.

2° Elles sont suffisantes. Nous le démontrerons en prouvant que les deux circonférences ne peuvent être ni extérieures , ni tangentes, ni intérieures l’une à l’autre.

Fig. 31. Si elles étaient extérieures, la droite qui irait du centre O au centre O', rencontrerait d’abord la première circonférence en A, pour en sortir et rencontrer ensuite la deuxième circonférence en A'; donc on aurait

de sorte que la distance des centres serait plus grande que la somme des rayons, et nous la supposons plus petite.

Si les deux circonférences étaient tangentes , la distance des centres serait égale à la somme ou à la différence de leurs rayons ( 101 ), et nous supposons qu’il n’en est pas ainsi.

Fig. 32. Si les deux circonférences étaient intérieures F une à l’autre, la droite qui irait du centre Ü au centre O' rencontrerait d’abord la seconde circonférence en A' ,

DE IA CIRCONFÉRENCE. 43

pour en sortir et rencontrer ensuite la première circonférence en A , donc on aurait

donc le plus grand rayon surpasserait la somme faite du plus petit rayon et de la distance des centres, ou, ce qui revient au même, la distance des centres serait moindre que la différence des rayons , et nous supposons le contraire. Donc les deux circonférences ne

{ leuvcntêtre ni extérieures, ni tangentes, ni intérieures ’une à l’autre; donc elles se coupent.

104. Scholie i. Si l’on ignore lequel des deux rayons est le plus grand , il faudra vérifier que chaque rayon est plus petit que la somme faite de l’autre rayon et de la distance des centres , pour être sur que la seconde condition est satisfaite.

§. III. De la mesure des angles.

Théorème XVII.

103. Dans la même circonférence ou dans des circonférences égales, les angles au centre (on appelle ainsi ceux qui ont leur sommet au centre ) AOB Fig. 33. et C ( J D , qui comprennent des arcs égaux A B et C D entre leurs côtés, sont égaux.

Par le milieu I de l’arc AC menez le diamètre IK., et pliez ensuite la figure le long de ce diamètre : il est clair que de cette manière le point A viendra se placer en C, et le point B en D, puisque nous supposons l’arc AB = CD. L’angle AOB recouvrira donc exactement l’angle COD, et par conséquent ces angles sont égaux ( 34 ).

TnÉoRÈME XVIII.

106. Réciproquement, dans la même circonférence ou dans des circonférences égales, si deux angles au centre AOB et COD sont égaux , les arcs AB et CD compris entre leurs côtés sont aussi égaux.

On démontrera cette réciproque d’après la règle du n° 48 , ou bien on pourra imiter la démonstration de la proposition directe.

Fig. 34. 107. Corollaire. Un angle droit dont le sommet

est au centre intercepte entre ses côtés un quart de la circonférence ou un quadran. Réciproquement, si un angle au centre AO B comprend un quadran entre ses côtés, cet angle sera droit : car si i on prolonge le côté AO, on formera un angle BOC=AOB, puisque BC sera nécessairement un quadran; donc ces deux angles sont droits.

Théorème XIX.