I>ES SERF ACES CONIQUES

tirera une nappe d'une surface conique circulaire droite.

323. La portion d’un cône comprise entre deux plans parallèles se nomme»/! tronc de cône h bases parallèles. La hauteur de ce tronc est la distance des deux plans, et la portion de génératrice qu’ils interceptent en est dite l’arête ou la génératrice.

11 est évident qu’un tronc de cône droit à bases parallèles est engendré par un trapèze rectangle, tournant autour du côté qui est perpendiculaire à ses deux bases parallèles.

Théorème I.

326. Tout plan mené dans une surface conique par une de ses génératrices et un point quelconque de la directrice, la coupe suivant deux ou un plus grand nombre de génératrices.

Il est clair, en effet, que les génératrices qui passent par les points où le plan dont il s’agit.coupe la directrice, ont chacune deux points dans ce plan, et y sont par conséquent tout entières : elles sont donc les intersections de ce plan avec la surface conique.

Théorème II.

327. Le plan conduit par une génératrice S A Fig. 236. et la tangente A T menée par sa trace a la base d’un cône } renferme les tangentes a toutes les courbes que Ton pourra tracer sur le cône par les différents points de cette génératrice , de sorte que ce sera le plan tangent au cône en l’un quelconque des points de SA.

On démontrera ce théorème en faisant voir que le plan S AT contient la tangente KV à une courbe quelconque KL tracée sur la surface conique. Pour cela , je mène un plan par la génératrice SA , et un point M voisin de A : il coupera la surface conique suivant la droite SM et la courbe KL en un certain point N de celle-ci. Maintenant, si l’on fait tourner ce plan autour

de SA , de manière que le point M se rapproche de A , les sécantes AM et K N tourneront eu même temps autour de A et de K; et quand la droite variable SM, qui contient les points M et N , coïncidera avec SA, les sécantes AM et K.N seront devenues les tangentes respectives AT et KV ; mais le plan mobile aura pris alors la position SAT; et, comme les deux sécantes sont toujours restées dans ce plan , on voit ainsi que la tangente KV est aussi dans le plan SAT. De plus, ce plan est tangent à la surface conique (508) : donc, etc.

* 528- Scholie. Remarquons que si le point par lequel on veut mener un plan tangent à une surface conique était le centre même de cette surface , le problème serait impossible : car les diverses génératrices y sont elles-mêmes leurs propres tangentes, et cependant elles sont deux à deux dans des plans différents.

Remarquons aussi que la démonstration du n° 507 n’est pas applicable au centre de la surface conique : car la génératrice parallèle à la base du cône se resserre de plus en plus en approchant de ce centre, et finit par se réduire à un point : alors elle n’admet plus, à proprement parler, de tangente.

11 en est de même pour les surfaces de révolution dont le méridien coupe l’axe sous un angle nul ou différent d’un droit : en ces points de section il n’y a point de plan tangent.

Théorème III.