Une surface conique esl toujours développable

Pour le démontrer, je suppose que l’on inscrive un polygone dans la courbe qui résulte de l’intersection de la surface conique par un plan , puis que l’on fasse passer des plans par les côtés opposés de ce polygone et par le centre de la surface. Nous formerons ainsi un angle polyèdre, et l’on verra facilement que l’on pourra Fig. 238. faire tourner SBC autour de l’arête SB jusqu’à ce

DES SCUFACES CONIQUES.

qu’elle vienne se placer dans le plan de la face SAB, et à la suite de celle-ci, puis faire tourner le système de ces deux faces autour de l’arête SC jusqu’à ce qu'il soit venu se rabattre sur le plan de la face suivante SBC et ainsi de suite; donc toute la surface de cet angle polyèdre pourra être étendue sur un même plan, et les côtés du polygone ABCD. . . ainsi que les portions SA, SB, SC. .. des arêtes comprises entre le centre S de la surface et le plan sécant auront conservé leurs longueurs, de sorte que le développement sera un secteur polygonal.

Or, ces conséquences sont vraies quelle que soit la grandeur des angles et des côtés du polygone que nous avons substitué à la base du cône, donc elles le seront encore quand tous les côtés de ce polygone seront infiniment petits, c’est-à-dire quand l’angle polyèdre S aura atteint sa limite, qui est la surface conique proposée.

<>30. Comme toutes les génératrices d’un cône droit sont égales, on voit que si l’on conçoit sa surface fendue le long d’une de ces génératrices et qu’on l’étende sur un plan, le développement de cette surface sera un secteur S'A'MB dont le rayon S'A' sera égal Fig. 237. à cette génératrice, et dont la base A'B' aura même longueur que la circonférence de la base du cône, de sorte que , pour déterminer le nombre de degrés de cette base A'B', on posera la proportion (')

AO: SA y.x : 3G0°.

Si, par exemple, AO et SA valaient respectivement 6 c,œ et 10 c - ro , on trouverait que x = 210°. Ainsi, en faisant un angle de 216°, et décrivant entre ses côtés un arc dont le rayon eût 10 centimètres, on aurait le développement du cône donné.

( * ) On a évidemment : A' MB' : cire. S'A' .r: 3GO", en appelant x le nombre de degrés de l’arc A' M B'; mais A'MB'= cire. A O : donc AO ! S A J ; x ; 360".