Le prisme est un polyèdre dont deux J aces

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES POLYÈDRES. 287 sont îles polygones A B CD Ii et FGII1K, qui ont Fig. 250. leurs côtés égaux et parallèles chacun à chacun , et dont les autres faces AG, B H... sont déterminées par les plans conduits suivant les côtés homologues AB et F G, BC et GH de ccs polygones. Ces au-

tres faces sont évidemment des parallélogrammes ( 178); on les nomme les faces latérales du prisme, tandis que les deux polygones ABC DE et FGHIK sont appelés ses bases. La hauteur de ce polyèdre est la distance de ses deux bases.

898. Un prisme est droit lorsque ses arêtes latérales AF, BG sont perpendiculaires aux plans

des bases.

Un prisme est triangulaire , quadrangulaire, pentagonal , etc., selon que ses bases sont des triangles, des quadrilatères, des pentagones, etc.

89G. Si la base d’un prisme est un parallélogramme, scs faces latérales seront parallèles deux À deux (488), de sorte que ce polyèdre sera un parallélipipède (889).

897. Si l’on observe que la surface latérale d’un prisme peut être engendrée en faisant glisser une de ses arêtes latérales parallèlement à elle-même sur le contour de sa base, on en conclura qu’un cylindre est un prisme dont la base a une infinité de côtés infiniment petits.

898. Un prisme est régulier lorsqu’il est droit, et que sa base est un polygone régulier.

Si l’on construit deux cylindres droits qui aient même hauteur qu’un prisme régulier, et pour bases les cercles inscrit et circonscrit à la sienne, ccs cylindres seront dits inscrit et circonscrit au prisme (839).

Tuéorème YI.

899. Deux prismes AH et A' H' sont égaux lorsqu’ils ont un unifie trièdre compris entre trois faces égales chacune a chacune et semblablement placées , savoir :

ABCDEs= A'B' C' D'E', ÀK. = A'K/, AG = A'G'.

Il suil immédiatement do cette hypothèse que les trièdres A et A' sont égaux (497), et que par conséquent, si l’on superpose les deux hases ABC DE et A'B'C' D’ E' en faisant coïncider leurs côtes homologues, les arêtes AF et A' F', coïncideront aussi; et, comme elles sont égales, le point F' tombera sur le point F: donc les parallélogrammes AK et A' K', AG et A'G' se recouvriront exactement ; donc il en sera de même des hases supérieures, et, par suite, des faces latérales BH et B'II', CI et CT, etc.; donc les deux prismes sont égaux.

600. Corollaire i. Deux prismes droits sont égaux lorsqu 'ils ont des bases égales et des hauteurs égales : car toutes leurs faces latérales sont des rectangles égaux chacun à chacun. Si donc les trièdres A et A\ par exemple, ont leurs faces semblablement placées, la condition énoncée au n° 699 sera remplie, et les prismes seront égaux; s’il n’en est pas ainsi , les trièdres A et F' seront égaux , et par conséquent les prismes le seront aussi.

601. Corollaire ii. Deux parallélipipèdcs sont égaux dans les mêmes circonstances où deux prismes le sont (696).

602. Corollaire iii. Un prisme est déterminé quand on connaît sa base et l’une de scs arêtes latérales en grandeur et en direction.

Théorème VII.

603. Un polyèdre quelconque peut toujours être partagé en pyramides } et même en tétraèdres.

Nous distinguerons deux cas, suivant que le polyèdre sera convexe ou concave.

1° Si le polyèdre est convexe, on conduira des plans par un sommet quelconque A, et par chacune des arêtes des faces non adjacentes à ce sommet, et il sera ainsi décomposé en autant de pyramides qu’il y a de ces faces.

Si maintenant on partage la base de chaque pyramide en triangles, et que l’on mène des plans par chaque

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES UES POLYÈDRES. 289 ligne de division et par le sommet commun, on décomposera chacune de ces pyramides ; et partant le polyèdre propose, eu tétraèdres.

2° Si notre polyèdre est concave, on le partagera immédiatement en pyramides, et par suite en tétraèdres, si, d’un point pris dans son intérieur, on peut mener à tous scs sommets des droites qui, pour y arriver, ne traversent aucune de ses faces. S’il n’en est pas ainsi, menez par le sommet de l’un de ses angles rentrants un plan qui passe entre les arêtes de cet angle, et le polyèdre se trouvera ainsi partagé en deux polyèdres (pii , pris ensemble, auront un angle rentrant de moins que le premier. Si donc vous opérez de la même manière sur chacun de ceux-ci, et ainsi de suite, vous finirez par décomposer le polyèdre proposé en un certain nombre de polyèdres convexes, ce qui vous ramènera au premier cas.

Théorème VIH.

*604. Le nombre F des faces d'un polyèdre , augmenlé de celui S de ses sommets , surpasse de deux < unités le nombre A de ses arêtes , de sorte que l’on a F + S — A = 2 (').

En effet , si l’on enlève une des faces de ce polyèdre, il deviendra un polyèdre ouvert, dont le nombre des faces sera (F — 1 ), et qui aura le même nombre d’arêtes et de sommets que le proposé. Supprimons une quelconque des faces de ce second polyèdre, qui soit adjacente à la première. Il est clair que l’on aura effectué cette suppression en ôtant un polygone ouvert, lequel aura nécessairement un sommet de moins qu’il n’a de côtés : donc , si l’on désigne par s le nombre des sommets qu’on a enlevés, par F', S' et A' le nombre des faces, des sommets et des arêtes du nouveau polyèdre, on aura :

( 1 ) Ce théorème est dit à Euler.

donc F' + S' — A'=(F — 1) + S — A.

Ainsi, en enlevant une face d’nn polyèdre ouvert quelconque, l’excès du nombre des faces augmenté de celui des sommets sur le nombre des arêtes, demeurera constant. 11 en sera donc de même si l’on supprime une seconde face, une troisième, etc., jusqu’à ce que l’on ait réduit le polyèdre à un simple polygone; mais alors la différence dont il s’agit sera évidemment égale à l’unité, puisqu’un polygone a autant d’arêtes que de sommets , donc :

F— 1 +S — A = 1 : d’où F + S — A = 2 , ce qu’il fallait démontrer.

606. ScnoLiE. Ce théorème n’est qu’un cas particulier d’un autre dû à M. Cauchy , et que l’on démontrerait de la même manière. ( Annales de mathématiques et Journal de l’École polytechnique.)

* 606. Corollaire. La somme des angles de toutes les faces d’un polyèdre est égale a autant de fois quatre droits qu ’ily a d’unités dans l’excès du nombre des arêtes sur celui des faces , ou à autant de fois quatre droits qu’il y a de sommets , moins deux.

On sait en effet <[iie lasommedesanglesd’un polygone est égale à autant de fois deux droits qu’il a de côtés, moins quatre droits : donc la somme Y des angles de toutes les faces d’un polyèdre est égale à autant de fois deux droits que ces faces ont de côtés, moins autant de fois quatre droits qu’il y a de faces. Mais, comme chaque arête appartient à deux faces, on voit qu’en comptant le nombre des côtés de toutes les faces du polyèdre, on trouve un nombre double de celui de ses arêtes : donc l’expression de V est

d’après le théorème d 'Euler, ce qu’il fallait démontrer.

*607. M. Gergonne a prouvé, dans les Annales de mathématiques , qu’à l’exception de quelques théorèmes, tels que celui d'Euler, dans lesquels le nombre des faces et celui des sommets figurent de la même ma-

PROPRIÉTÉS (îÉNÉRALES UES POLYÈDRES. 291

ni ère , il n’cst aucun théorème de cc genre auquel il ne doive en répondre un autre, qui s’en déduit indispensablement , en y permutant simplement entre eux les mots faces et sommets. Nous allons indiquer brièvement la marche qui conduit à ces théorèmes.

Soient c , d , e , f, g , h.... le nombre des faces qui ont 3, 4, 5, 6, 7, 8.... côtés, etc', d\ d f f,g', h 1 .... le nombre des angles polyèdres qui ont 3, 4, 5, G, 7, 8.... faces.

Comme chaque arête appartient à deux faces et aboutit à deux sommets, on aura

2 A = 3c + l, d -f- Se -f 6/+ . . . ,2 A = 3e'+ t,d’ + 5e' + 6/'+. . .

Or, si l'on retranche de 2 A, 2c + bd + 4e -f- Cf + G g + 8 h ...., le reste c + c -+• g + ... sera pair. II en est évidemment de même pour la quantité c' -\-d 4* g' 4- ... : donc

Les facf.s d’un nombre impair de cotés sont toujours en nombre pair.

D’un autre côté

Les sommets d’un nombre impair d’arêtes sont toujours en nombre pair.

F = c + d + e 4 -f + . • • , S = c' + d! + c' 4 -f ■+••••; donc, en substituant ces valeurs de F, S, A, dans l’équation F + S = A + 2, après en avoir doublé tous les termes, il viendra

équations qui se changent l’une dans l’autre par la simple permutation des lettres c et c', d et d , etc. : donc elles expriment des théorèmes qui se changent l’un dans l’autre par la seule permutation des mots face et sommet.

Si l’on ajoute la seconde au double de la première, cc qui revient à éliminer c' entre elles, on trouvera: 3 c+2 rf+^12+(^+2A+3i+....)+2(^+2 < /+3/+....)...(2), équation absurde si c, d, c, sont nuis : donc

IL n’y a aucun polyèdre dont toutes les faces aient plus de cinq côtés , ou dont tous les sommets aient plus de cinq arêtes.

Si d et e sont nuis, c vaut au tnoins4; si c et e sont nuis, d vaut au moins 6; si c et d sont nuis, e vaut au moins 12 : donc

Un polyèdre qui n’a ni faces quadrangulaires ni pentagonales, a au moins quatre faces triangulaires.

Un polyèdre qui n’a ni faces triangulaires ni pentagonales, a au moins six faces quadrangulaires.

Un polyèdre qui n’a ni faces triangulaires ni quadrangulaires , a au moins douze faces pentagonales.

Un polyèdre qui n’a ni sommets tétraèdres ni pentaèdres, a au moins quatre sommets trièdres.

Un polyèdre qui n’a ni sommets trièdres ni pentaèdres , a ait moins six sommets tétraèdres.

Un polyèdre qui n’a ni sommets trièdres ni tétraèdres , a au moins douze sommets pentaèdres.

Si d', e ,f . . . étant nuis, on suppose que d , c, g, h . . . , ou c, e, g, h . . . , ou c, d, g, h. . . soient nuis eu même temps , ou aura c — 4 , ou d — 6 , ou e = 1 2 : donc

Si tous les sommets d’un Si toutes les faces d’un polyèdre sont trièdres , et polyèdre sont triangulaiqu il n’ait que des faces res, et qu’il n’ait que des triangulaires et hexago- sommets trièdres et hexaènales, ou quadrangulaires \dres , ou tétraèdres et et hexagonales , ou penta- hexaèdres, ou pentaèdres gonales et hexagonales, il et hexaèdres , il a nécesa nécessairement quatre sairement quatre sommets faces triangulaires , ou trièdres , ou six sommets six quadrangulaires , ou i tétraèdres, ou douze pendouze pentagonales. j laèdres.

Si d, e, /, g. . . étant nuis, on suppose que tous les sommets soient trièdres, ou tétraèdres, ou pentaèdres, on a c=. 4, ou 3c= 12 + 2 d', ou 3c = 12 + 4c'; mais l’équation (2) donne, en permutant c et c', d et d' , etc. :

3c'+2rf'+c'=12+( ff '+2//+3*’+...)-H2(rf-|-2c+3/-+...)...(3);

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES POLYÈDRES. 293 d’où l’on tire, dans nos deux dernières hypothèses, cl' = G et é = 1 2, partant c == 8 ouc = 20.

Si c, e,J\ . . étant nuis, on suppose que tous les sommets soient trièdres, on a r/= 6. On no saurait supposer que les sommets, ayant tous le même nombre d’arêtes, en eussent chacun plus de trois : car les équations (2) et (3) seraient alors contradictoires.

Si c , d,f g. . . étant nuis, on suppose que tous les sommets soient trièdres, on aura e— 12. On ne saurait supposer que les sommets, ayant tous le même nombre d’arêtes, en eussent chacun plus de trois : car alors les équations (2) et (3) seraient contradictoires. Ainsi

Il ne peut y avoir que cinq sortes de polyèdres dont toutes les faces aient le même nombre de côtés , et tous les angles le même nombre d’arêtes : ce sont le tétraèdre , Y octaèdre, Y icosaèdre, Y hexaèdre et le dodécaèdre.

Si l’on ajoute les équations (1), d et d' disparaîtront, et l’on aura :

Si l’on élimine e entre les équations (1), il viendra:

Ac+îd+c'=ÏO+î{/-> r e l S +...)+U'+b<'+ (5).

On déduira de ces deux dernières équations des théorèmes analogues à ceux que nous avons établis haut, et entre autres celui-ci :

Un polyèdre, ne saurait être privé h la fois de faces triangulaires et d’angles trièdres, et il faut même que le nombre des uns et des autres ne soit pas moindre que huit.

Théorème IX.

Gft8. Deux polyèdres sont égaux lorsqu’ils ont toutes leurs faces égales chacune a chacune , semblablement placées et également inclinées.

lin effet , si l’on place une des faces de l’un des polyèdres sur celle qui lui est égale dans l’autre, on verra

plus

facilement que les faces qui lui sont contiguës viendront coïncider avec leurs homologues, et ainsi de suite de proche en proche , de sorte que le premier polyèdre recouvrira exactement le second.

Observons toutefois que l’énoncé de ce théorème renferme évidemment plus de conditions qu’il n’en faut pour que deux polyèdres soient égaux. M. Cauchy a démontré en effet que deux polyèdres convexes sont égaux quand ils ont toutes leurs faces égales chacune à chacune, et semblablement placées. (Journal de l’École polytechnique.)