SD SE S F DE DE K K

On voit de plus que les arêtes de nos deux tétraèdres sont semblablement disposées.

610. Il suit de cette définition que deux tétraèdres semblables ont leurs faces semblables chacune h chacune (246), leurs angles trièdreset dièdres égaux chacun à chacun (497).

Théorème I.

611. Deux tétraèdres S ABC et S'A'B'C' sont semblables, lorsqu’ils ont un angle dièdre égal compris entre deux faces SAB et S' A 'B', SAC et S'A'C' semblables chacune à chacune et semblablement disposées.

Je prends, à partir du point S, SD = S'A', SE = S'B', SF = S'C' et par les trois points D, E, F, je mène un plan. Ce plan coupera donc les arêtes de l’angle trièdre S en parties proportionnelles, puisque ces arêtes sont proportionnelles à celles de l’angle trièdre S', à cause de 1a similitude des triangles S A B et S'A' B', SAC et S A C' : donc il est parallèle à ABC; donc le tétraèdre S DEF est semblable à SABC. ((i09). Mais les tétraèdres SDEF et S'A'B'C' sont superposables, car les angles trièdres S et S' sont égaux (501 ), donc ce dernier est aussi semblable à SABC.

Théorème II.

612. Deux tétraèdres SABC et S'A'B'C' sont semblables lorsqu’ils ont une face semblable adjacente a. trois angles dièdres égaux chacun a chacun et dont les faces homologues sont semblablement disposées.

Soit la face SAC semblable à S'A'C'. Prenons

encore SI) = S'A', SE = SB', S F = S'C' et menons un plan par les Irais points D,K, F. I.e trièilre S est égal au trièilre S' (302) ; donc les deux tétraèdres SD EF et SA'B'C sont superposables, et l’angle dièdre SDFE est par conséquent égal à S’A'C'B', et par suite à l’angle dièdre S A CB. Puis donc que la similitude des triangles SAC et SDF exige que l’arête DF soit parallèle à AC, on voit que le plan DEF est parallèle à A BC(466); donc le tétraèdre SDEF, c’està-dire S' A' B' G' est semblable à SABC.

Théorème III.

613. Deux tétraèdres sont semblables lorsqu'ils ont tous leurs angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés.

En effet nos deux tétraèdres ont leurs angles trièdres égaux chacun à chacun ( 300), de sorte que leurs faces homologues sont équiangles entre elles et que par conséquent leurs arêtes homologues sont proportionnelles.

614. Scholie. L’énoncé de ce théorème renferme une condition de trop, car, pour établir la similitude des faces des deux tétraèdres, il suffît de supposer que cinq angles dièdres soient égaux chacun à chacun.

Ci». On appelle polyèdres semblables deux polyèdres qui sont composés d'un même nombre de tétraèdres semblables chacun à chacun et semblablement disposés (’). (*)

(*) C’est-à-dire , 1° que les deux angles dièdres dont l’arête commune est une des arêtes mêmes de la face qui assemble les deux tétraèdres du premier polyèdre auxquelles ils appartiennent, sont homologues de ceux dont l’arête commune est i ne des arêtes de la face qui réunit les deux tétraèdres du second polyèdre ; 2° que si l’on place l’une des faces de jonction sur sa correspondante, en faisant coïncider deux côtés homologues, les tétraèdres semblables seront alors situés d’un même Fig. 252. côté du plan commun. Soit, par exemple, le polyèdre SABC» E conqrosé des tétraèdres SAllC , SAC» et SAUF , et supposons

Théorème IV. *

61 6 . Deux polyèdres semblables P et P' ont leurs faces homologues semblables , leurs angles dièdres et leurs angles polyèdres égaux chacun à chacun.

Puisque lesdeux polyèdres sont semblables, on peut les décomposer en un même nombre de tétraèdres semblables, chacun à chacun, et semblablement disposés ( 603 ) : supposons cette décomposition effectuée, alors les surfaces de nos deux polyèdres seront partagées en un même nombre de triangles semblables chacun à chacun et semblablement placés; et je dis que si deux ou plusieurs de ces triangles sont dans un même plan, et forment une même face de P, leurs homologues seront aussi dans un même plan, et formeront une face de P' semblable à celle de P (fL'ôA). Soient, en effet, ABC Fig. 252. et ACD, deux triangles adjacents du polyèdre P, et S le sommet commun des tétraèdres auxquels ils appartiennent; A'B'C' et A'C'D' les triangles homologues de I y , et S' le sommet homologue à S. Les angles dièdres S ACB et S A CD seront respectivement égaux à S'A'C'B' et à S'A'C'D' ( 610 ); or, si les deux triangles ABC et ACD sont dans un même plan, les deux angles dièdres SAC B et SACD seront supplémentaires : donc il en sera de même de S'A'C'B' et de S'A'C'D', et par

que ln face ABC du premier soit posée sur le plan même de la figure, et que tous les autres sommets S,D,E, soient au-dessus de ce plan. Si l’on veut construire un polyèdre composé de tétraèdres semblables h ceux-ci , et qui soient semblablement placés, on formera d’abord un tétraèdre S' A'B'C' semblable au premier; puis, comme les deux dièdres BACS et SACD ont AC pour arête commune, on construira sur A'S'C' un tétraèdre semblable à S ACD, en avant soin que le dièdre homologue à S'A'C'D' ait A'C' pour arête, et que la face A'C'D' soit du côté opposé au plan ABC. Enfin on mènera par A'D' un plan qui fasse avec S'A 'D' un angle dièdre égal à SADE, mais qui soit du côté opposé au triangle A'C'D', et en construisant, sur A'D' et dans ce plan un triangle A'D'E' semblable à ADEet semblablement placé , le troisième tétraèdre sera déterminé.

conséquent les triangles A'B'C' et A'C'D', seront aussi dans un même plan. Donc les polyèdres P et P' ont leurs faces semblables chacune à chacune.

Si, au contraire, les deux triangles ABC et A CD ne sont pas dans un même plan , leurs homologues A'B'C' et A'C'D' n’y seront pas non plus, et l’angle dièdre BÀCD sera égal à B' A'C'D'; donc les angles dièdres homologues des deux polyèdres sont égaux, car ce sont ou des angles dièdres homologues de tétraèdres semblables, ou des sommes d’angles dièdres homologues de pareils tétraèdres.

Quant aux angles polyèdres homologues, ils sont égaux comme ayant toutes leurs faces égales chacune à chacune, semblablement disposées et également inclinées.

Théorème V.

617. Réciproquement deux polyèdres sont semblables lorsqu' ils ont toutes leurs faces semblables chacune h chacune, semblablement disposées et également inclinées.

Nous distinguerons deux cas, suivant que les polyèdres proposés seront convexes ou concaves.

1" Les polyèdres étant convexes, nous pourrons partager l’un d’eux en tétraèdres, par des plans passant par l’un de ses sommets (003, 1°), et conduire ensuite des plans par les sommets homologues du second; de cette manière ils se trouveront décomposés en un même nombre de tétraèdres semblablement disposés. Il s’agit de prouver que ces tétraèdres seront semblables chacun à chacun (613).

Fig. 253. Soient SABCDE et S' A'B'C D E' deux fragments des polyèdres proposés : nous supposons que les triangles SBC et S B C', SCD et S' C D' soient formés en joignant des sommets homologues de deux faces semblables, semblablement disposées et formant des angles dièdres égaux BCSD et B'C'S'D'. Nous faisons la même hypothèse sur les triangles SAB et S'A' B', SED et

S'E'D', sur les angles dièdres ABSC et A'B'S'C',

CDSE et C'D'S'E'; enfin le fragment SAB CI) E se compose des tétraèdres S ABC, SAEC et SDCE.

Parmi les tétraèdres qui composent les deux polyèdres, il y en a qui ont deux faces communes avec eux et comprenant entre elles des angles dièdres égaux, puisqu’ils appartiennent aux polyèdres. Tels sont les tétraèdres SDEC et S'D'E'C' qui ont le dièdre SD=S'D' compris entre les faces semblables SDE et S'D E' (2;>4),

SDCet S'D'C', donc ces tétraèdres sont semblables) (J ! 1), et par conséquent les fuces.SÇE c^S'G'E' sont semblables, et les angles diùdrrs'^DCS'E et 1) C'S'E' sont égaux. Mais les tétraèdresj^ABC et S'A'B'C' sont aussi semblables, comme ayaut l'angle dièdre BS = BS' compris entre les faces semblables SBC et S'B'C', SAB etS'A'B'; donc la face SAC est semblable à S'A'C', et l’angle dièdre BCS A est égal à B'C'S'A'. Mais l’angle dièdre BCSD du premier polyèdre est égal à son homologue B'C'S'D'; si donc on en retranche respectivement les angles DCSE et IJ'C'S'E', BCS A et B'C'S'A', les angles dièdres restants ACSE et A'C S'E seront égaux ; par conséquent les tétraèdres SACE et S'A'C'E' seront semblables (611), et ainsi des autres.

Cette démonstration est entièrement analogue à celle du n" 2»îB relative aux polygones.

2" Considérons deux polyèdres concaves. On pourra, en menant convenablement des plans par les arêtes des angles rentrants, les décomposer en polyèdres convexes, de sorte que notre théorème sera démontré, d’après ce qui précède, si nous prouvons que ces polyèdres convexes ont toutes leurs faces semblables chacune à chacune, semblablement disposées et également inclinées.

Soient donc AK et A'K' deux polyèdres qui ont Fig. 254. toutes leurs faces semblables, semblablement disposées et leurs angles dièdres égaux chacun à chacun ( la figure représente deux prismes). Soient ABM NO et A'B'M'N'O' les sections faites dans ces corps, par deux

plans menés par les arêtes homologues AB et A'B' et également inclinées sur les faces AG et A'G'. Les deux angles trièdres BMGA et B'M'G'A' ont la face ABG = A' B' G' adjacente aux angles dièdres égaux MABG et M'A'B'G', ABGC et A'BGC'; donc ces angles trièdres sont égaux (iî02), et ainsi les angles ABM et A'B M', GBM et G'B'M' sont égaux, ainsi que les angles dièdres GBM N et GBM' N'. Mais de ce que l’angle GBM = G'B'M', il résulte que les droites BM et B'M' partagent les polygones semblables MG et M'G' en deux polygones semblables chacun à chacun (2o9) ; doue l’angle BMI = B' MT, et nous nous retrouvons au point M dans les mêmes circonstances qu’au point B. Nous en conclurons donc que l’angle BMN = B'M'N' et que le polygone NI est semblable à NT, et que l’angle dièdre IM NO = l' M'N'O' et ainsi de suite. Or, il résulte de la similitude des faces AG et A'G', MG et M'G', NI et N I', etc., que l’on a

AB : A'B' : : BG : B'G' : : BM : B'M' : : MI : MT : : MN : M'N' : : etc. ;

donc les deux polygones ABM NO et A'B'M'N'O' sont semblables (2iî8); donc les deux polyèdres ABMNOFGIKL et A'B'M'N'O'F'G'I'KL' ont toutes leurs faces semblables, semblablement disposées et également inclinées.

618. On appelle points homologues deux points qui sont liés a deux Jaces homologues pur deux tétraèdres semblables et semblablement disposés. Les t Imites , dont les extrémités sont des points homologues, sont dites droites homologues.

Théorème VI.

619. Dans deux polyèdres semblables les droites homologues sont proportionnelles aux arêtes homologues de ces polyèdres.

Fig. 255. Supposons que ABC et A'B'C', DEF et D E' F' étant des triangles homologues de deux faces semblables des deux polyèdres, les tétraèdres SABC et S'A'B'C',

DES POLYEDRES SEMBLABLES.

TDEF et T D E'F' soient semblables et semblablement places, de sorte que les points S et S', T et T sont des points homologues; je dis que les droites homologues ST et S' T' sont proportionnelles aux arêtes homologues BC et B C'. En effet, il résulte de la similitude des tétraèdres TDEF et T' D E' F' que les faces TDF et T' D' F' sont semblables, et que les angles dièdres TDFC et T'D'F'C' sont égaux, mais le triangle DGF est semblable à D'C F'; donc le tétraèdre TDCF est semblable à T D'C' F' (611). On verra de même que les tétraèdres T FC B et T' F' Ç' B' le seront aussi, et de là on conclura facilement la similitude des tétraèdres TBCS et T'B'C'S' (611), et par suite que