DES POLYÈDRES SYMÉTRIQUES

620. On appelle polyèdres symétriques deux polyèdres qui peuvent être placés de telle manière que les droites qui joindront les sommets du premier avec ceux du second , iront se croiser en un même point , ou elles seront coupées en deux parties égales. Ce point se. nomme le centre de symétrie des deux polyèdres et les sommets correspondants sont dits symétriques ou homologues.

Il existe de pareils polyèdres. Soit , en effet , ABCDE Fig. 256. une face quelconque d’un polyèdre joignons les sommets de ce polygone avec un point quelconque O, et prolongeons chacune de ces droites d’une quantité égale à elle-même : je dis que tous les points A',B',C',D',E' ainsi déterminés sont dans un même plan. En effet, s'il n’en est pas ainsi, menons par le point A' un plan parallèle à ABCDE, et soit B” le point où il coupera BOB' : légalité des triangles ÀOB et A'OB"(161) exigera que l’on ait OB" = OB = OB', ce qui est ab-

surde ; donc il passera par tous les points A',B',C,T)', E', et les deux polygones ayant leurs cotés égaux et parallèles chacun à chacun seront égaux. Donc, en faisant pour toutes les laces du polyèdre proposé, ce que nous avons fait pour la face ABCDE, on formera un polyèdre symétrique de celui-ci.

Théorème J.

621. Deux polyèdres sy/nétri<flléS ont toutes leurs faces égales chacune à chacune, leurs angles dièdres homologues égaux , leurs angles polyèdres symétriques , et ils pourront être décomposes en un même nombre de tétraèdres symétriques chacun h chacun, mais inversement disposés.

En effet, la démonstration du numéro précédent prouve d’abord que les faces symétriques seront égales chacune à chacune. On voit ensuite que si CF et C'F' sont deux arêtes symétriques, ces arêtes seront parallèles, de sorte que les deux angles trièdresC et C' ayant leurs faces symétriques égales (458), auront leurs angles dièdres égaux chacun à chacun.

Quant aux angles polyèdres, ils auront leurs faces symétriques égales, également inclinées et inversement pjacées, donc ils seront symétriques (498).

On voit enfin que si on décompose le premier polyèdre d’une manière quelconque en tétraèdres, on pourra, en menant des plans par les sommets symétriques du second, le décomposer aussi en tétraèdres, lesquels seront les symétriques des premiers, puisqu’ils satisfont à la définition (620).

Théorème II.

622. Deux polyèdres symétriques peuvent être placés symétriquement par rapport a un plan donné quelconque , c’est-à-dire de telle sorte que leurs sommets homologues soient situés à égale distance du plan dont il s’agit, sur une même perpendiculaire à ce plan.

Transportons, en effet, le système des deux polyèdres