DES POLYÈDRES SYMÉTRIQUES

de manière que leur centre de symétrie se trouve en un point quelconque O du plan donné MN, et menons par Fig. 237. ce point une perpendiculaire OZ à ce plan. Maintenant faisons faire une demi-révolution au polyèdre inférieur autour de OZ. 11 est clair que la projection a du sommet A' sur MN viendra coïncider avec la projection a du sommet symétrique A de l’autre polyèdre ; car()«'= Ou àcausede l’égalité des triangles OAnetOA'rt'. Il en sera de même des projections de tous les autres sommets îles deux polyèdres. Ainsi les deux corps seront actuellement disposés de telle sorte que tous leurs sommets seront situés deux à deux sur une perpendiculaire au plan MN, et à égale distance de ce plan. Donc ces deux polyèdres sont symétriques par rapport à ce plan.

Le plan MN est donc un plan de symétrie des deux polyèdres.

Théorème III.

625. Réciproquement , si deux polyèdres sont symétriques par rapport h un plan MN, ils pourront etre placés symétriquement par rapport a un point quelconque O de ce plan.

Faisons faire une demi-révolution au polyèdre inférieur autour de O Z. De cette manière la projection a du sommet A" sur le plan MN viendra se placer en a sur le prolongement de fl O, et le point A" se trouvera ainsi transporté en A'. Si alors on joint OA' et OA , on formera deux triangles égaux OA a, et UA'a' (159); car les angles a et a! sont droits, Oa = Oa', et d A' — a A" est ainsi égal à A a. Donc l’angle AO a = A'Ort', et AOA' est par conséquent une ligne droite divisée au point O en deux parties égales; donc les deux polyèdres seront alors situés de telle manière que les drojtcs qui joindront leurs sommets homologues iront se croiser au point O et y seront divisées en deux parties égales; donc ce point est un centre de symétrie des deux polyèdres.