CHAPITRE IV
624. Ou appelle polyèdre régulier celui dont toutes les faces sont des polygones réguliers égaux, et dont tous les angles polyèdres sont égaux entre eux. Tel est le cube (395) : car toutes ses faces sont des carrés égaux, et tous ses angles trièdres sont trirectangles, et par conséquent égaux.
Théorème I.
62a. Tout polyèdre régulier est a la fois inscriptible et circonscriptible à une sphère.
Fig. 258. Soient BAC, CAD, deux faces adjacentes, F et G les centres des cercles inscrits et circonscrits à ces faces. Si'l’on élève en ces points des perpendiculaires à leurs plans, elles iront concourir au centre O de la sphère qui passerait par les quatre sommets C, B, A, D (347). Je dis maintenant que les perpendiculaires élevées au centre de chacune des autres faces du polyèdre iront concourir au point O; et , pour le démontrer, il suffira de prouver qu’il en sera ainsi pour une troisième face ED K adjacente à l’une des deux premières. Soit donc O' le point où la perpendiculaire élevée au plan de cette face par son centre I coupe ÜG. Si l’on joint les points F et G au milieu Mdc AC et les points G et I au milieu N de DE, on formera deux quadrilatères OFMG et O'GNI qui auront les angles F, G et I droits, les angles F MG et GNI égaux, car ce sont les angles rectilignes correspondants aux angles dièdres B A CD et AI) EK, et les côtés FM, MG, NX) cl NI égaux entre eux : donc ces quadrilatères sont égaux (201) et par conséquent le point O' coïncide avec O; donc OF = OG— OI. Donc toutes les faces sont équidistantes du point U, et par cousé-
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quent le polyèdre sera circonscrit à la spliètc dont le rayon est O F. Mais ce même point U est aussi équidistant des sommets de chaque face (847) : donc la sphère décrite avec le rayon OA sera circonscrite au polyèdre.
620. Corot, lairk i. Tout polyèdre régulier peut être partagé en autant de pyramides régulières égales qu'il a de faces. Il suffit, pour effectuer cette décomposition , de mener des plans par le centre O et par chacune de ses arêtes.
G27. C Ioroilaire h. Réciproquement, un polyèdre est régulier lorsqu’on peut le décomposer en pyramides régulières égales en menant des plans par chacune de ses arêtes, et par un point pris dans sou intérieur. D’abord toutes ses faces sont des polygones réguliers égaux; ensuite tous scs angles dièdres sont égaux : car l’angle RA CD, par exemple , est double tic l’angle dièdre à la base de l’une quelconque de ces pyramides.
Théorème II.
028- Il ne peut y aeoir que cinq sortes de polyèdres réguliers.
Nous avons vu que la somme des faces d’un angle polyèdre convexe était toujours moindre que quatre droits. Par conséquent, si toutes ces faces sont égales, leur nombre sera nécessairement moindre que le quotient que l’on obtient en divisant quatre droits par la valeur d’une face. D’où il suit, en observant d’ailleurs que les angles d’un triauglc équilatéral , d’un carré, d’un pentagone et d’un hexagone régulier, valent respectivement (l’unité angulaire est l’angle droit)
1° Que, si les faces du polyèdre sont des triangles équilatéraux, le nombre des triangles réunis autour d’un même sommet sera plus petit que £ = G : donc chaque
angle polyèdre ne pourrra être formé qu’avec trois,
quatre ou cinq angles de triangles équilatéraux;
2" Que, si les faces sout des carrés, on ne pourra en assembler que trois, pour former chaque angle polyèdre ;
3° Que, si les faces sont des pentagones, le nombre de ces polygones réunis autour d’un même sommet sera moindre que * = <4 : donc on ne pourra for-
mer chaque angle polyèdre qu’avec t/ois angles de pentagone;
4° Que les faces d’un polyèdre régulier ne peuvent avoir plus de cinq côtés; car si l’on voulait employer même des hexagones, on trouverait que le nombre des faces de chacun de ses angles devrait être moindre que -J = 3 , ce qui est absurde.
Donc il ne peut y avoir que cinq sortes de polyèdres réguliers : trois formés en réunissant autour d’un même sommet trois , quatre ou cinq triangles équilatéraux ; et deux dont les angles polyèdres résulteraient de V assemblage de trois carrés ou de trois pentagones .
* Combien chacun d'eux a-t-il de faces P
Soient f le nombre des côtés de chacune et s le nombre des arêtes de chaque angle polyèdre. Le nombre total des arêtes de toutes les faces sera donc
Y J, en conservant la notation du n° 604; mais comme chacune appartient à deux faces, il s’ensuit que le nombre des arêtes du polyèdre n’est que la moitié de
Y J , et qu’ainsi Vf— 2 A ; on verra de même que Ss= 2A, et qu’ainsi nous avons, pour déterminer A, F et S, les trois équations
F/=2A, Ss = 2A, F + S — A = 2.
desquelles on tire facilement
Digilized b y
Or, dans les cinq polyèdres réguliers dont nous avons reconnu la possibilité, on a successivement :
et alors la formule précédente donne respectivement :
Iæs cinq polyèdres réguliers dont nous avons maintenant à démontrer l’existence, sont donc le tétraèdre, l 'octaèdre, V icosaèdre , Y hexaèdre et le dodécaèdre. Nous y parviendrons en résolvant le problème suivant ;
Problème I.
‘629. Construire un polyèdre régulier d'espèce déterminée , connaissant son arête.
S’il y a des polyèdres réguliers, ils peuvent être décomposés en autant de pyramides régulières égales qu’ils ont de faces, et réciproquement (626 et 627); et, comme le côté de la base de chacune est donné par l’énoncé du problème , ces pyramides intégrantes seraient déterminées si l’on connaissait les angles dièdres que forment leurs faces (‘). Concevons une sphère dont le centre soit au sommet de l’une de nos pyramides; les faces de celte pyramide intercepteront sur cette sphère un polygone sphérique dont les angles seront les angles dièdres mêmes formés par ces faces; si donc on représente par x la valeur de l’un de ces angles dièdres, on aura pour expression de l’aire de ce polygone sphérique fx — 2 (f — 2), en prenant l’aire du triangle trirectangle pour unité (6o3); par conséquent la somme
( ') Eli effet, chaque angle trièdre à la base est isoèdre , et l’on connaît dans ce trièdre l’angle dièdre formé par les deux faces égales et la face qui lui est opposée. Pour obtenir ces faces , il n’y aura donc qu'à renverser la construction par laquelle on détermine l'angle dièdre opposé à la face de développement, lorsque l’on connaît les trois faces ( voyez la géométrie descriptive ).
des aires des polygones cpic les angles au sommet de toutes les pyramides interceptent sur notre sphère sera { fx — 2 (/’- — 2)).F. Mais cette somme est précisément celle de la sphère, qui vaut 8 fois le triangle tri— rectangle , donc
e — 2 (/— 2) } F=8, d’où x = 8+ - ( |~- )F
En remplaçant F et f par leurs valeurs respectives, on trouvera que l’inclinaison de deux faces adjacentes de l’une tics pyramides intégrantes du tétraèdre est
de l’octaèdre est 1, de l’icosaèdre est A, de l’hexaèdre est du dodécaèdre est
En conséquence, si l’on veut construire le dodécaèdre, par exemple, on construira une pyramide pentagonale régulière dont le côté soit égal à l’arête donnée, et telle que l’inclinaison de deux faces adjacentes soit les j d’un angle droit; puis, réunissant douze de ces pyramides, l’espace se trouvera rempli autour de leur sommet commun , et le problème sera résolu (027). Les quatre autres polyèdres réguliers pourront être construits de la même manière. Observons toutefois que, pour obtenir l’hexaèdre régulier, il sera plus simple de construire un parallélipipède rectangle dont les trois arêtes contiguës soient égales à la ligne donnée (‘).
(') Si l’on suppose nul le dénominateur de la valeur de F (6281, ou aura l’équation 2 (/+-') ~f s, à laquelle on ne peut satisfaire que par les trois couples
Ainsi une sphère peut, sous trois points de vue différents , cire regardée comme un polyèdre régulier d'un nombre infini de faces infiniment petites , formé en réunissant autour d’un meme point , 1° des triangles six à six ; 2° des canes quatre à quatre ; 3° des hexagones trois à trois.
