BCD : BC'D : : C I : C'I

Mais les triangles A A' K et CC I sont équianglcs, donc BAD: BA'I) ::BCD : BC'D :: AK : A'K, et partant B AC : BA'C' :: A K : A'K ; donc enfin B'A'C' <.BAC.

Si le côté AC était parallèle au plan de projection, on mènerait ce plan par ce côté, et on rentrerait dans le premier cas.

Lemmf. II.

Fig. 261. 631. Toute surface plane ABC DE est moindre

que toute surface polyèdrale. fermée qui est terminée au même contour.

En efTet, les projections sur le plan ABCDE des faces de la surface polyèdrale proposée, qui ne sont pas parallèles à ce plan, sont moindres que ces faces (630), et la somme de ces projections est au moins égale à ABCDE (la figure représente l’intersection GHIKLMN de la surface enveloppante par un plan perpendiculaire à ABCDE).

632. Corollaire. Il suit de là et des considérations du n° 309 que toute surface plane est moindre que toute surface terminée au même contour.

Lemme III.

633. Toute surface polyèdrale convexe est plus petite que toute surface polyèdrale qui l' envelopperait en s'appuyant sur le même contour , ou qui T envelopperait entièrement.

Construisons, en effet, sur chaque face de la surface convexe un prisme droit extérieur à cette surface. On pourra regarder chacune de ces faces comme la projection sur son plan de la portion de la surface enveloppante comprise dans la surface latérale du prisme correspondant. Puis donc que ces prismes ne peuvent pas s’entrecouper, puisque la surface sur laquelle ils reposent est convexe, on doit conclure du n° 030

que cette surface est moindre que celle qui l’enveloppe

(la figure représente la construction analogue exécutée Fig. 262.

pour deux lignes brisées situées dans le même plan).

634. Corollaire. Tonie surface convexe est plus petite qu ’ une autre surface quelconque qui T envelopperait en s’appuyant sur le même contour, ou qui f envelopperait entièrement (').

653. La détermination de l’aire d’un polyèdre quelconque ne saurait présenter de difficulté, puisqu’elle est évidemment la somme de celles des faces de ce polyèdre, et nous avons vu comment on peut les évaluer. J’observerai seulement que les aires des surfaces latérales de la pyramide régulière et du prisme peuvent s’obtenir par une seule multiplication.

Théorème I.

656. L’aire de la surface latérale d’une pyramide régulière est égale a la moitié du produit du périmètre de sa base par son apothème.

En effet, chaque face de cette pyramide est un triangle qui a pour mesure un des côtés de la base de cette pyramide multiplié par la moitié de son apothème (586) : donc on pourra , dans l’addition des aires de toutes ces faces, mettre la moitié de l’apothême en facteur commun , et l’on obtiendra ainsi pour mesure de la surface latérale de la pyramide le périmètre de sa base multiplié par la moitié de son apothème.

Théorème II.

657. L’aire de la surface courbe d’un cône circulaire droit est égale h la moitié du produit de la circonférence de sa base multipliée par sa génératrice, c’est-à-dire que

C = ^ cire. R x G ,

(*) On aurait |>u, on s'appuyant sur les considérations exposées au commencement du ii* 556, démontrer d’une manière analogue le théorème du n° 346.

du désignant par H, G et C, le rayon de la base, la génératrice et l’aire de notre cotre (').

Fig. 263. Considérons, en effet, le cône engendré par la révolution du triangle rectangle SOK autour de SO.

J’inscris et je circonscris à ce cône deux pyramides régulières S ABC... et SA'B'C'... dont les bases soient semblables; je représente par S et par .» les aires de leurs surfaces latérales, par g l'apothème SI de la première, et enfin par P et p les périmètres de leurs bases : nous aurons donc

S = !- P . G et s = 1 p . g, d’où — = — . — .

2 o s PS

Si l’on inscrit et si l’on circonscrit à notre cône d’autres pyramides régulières dont les bases toujours semblables aient un plus grand nombre de côtés, toutes les quantités qui entrent dans ces trois équations varieront, à l’exception de G, qui est la génératrice du cône, mais ces équations subsisteront toujours. Or on peut prendre le nombre des côtés des bases assez grand pour que P et p diffèrent de moins que toute grandeur donnée. Il en sera de même de G et de g; car G — g = SK — SI < RI, quantité qui a zéro pour limite (549) : donc la limite du second membre de l’équation

— = — . — , et par conséquent aussi celle du premier est l’unité; donc la dij/èrence entre S et s peut être rendue moindre que toute grandeur assignable (*). Mais l’aire du cône est comprise entre S et s;

(') Cela résulte de ce que l'on peut regarder un cône comme une pyramide régulière infinitésimale. Cette proposition résulte encore de ce que le développement de la surface courbe d’un cône droit est uu secteur qui a pour rayon la génératrice de cette surface et pour base un arc égal en longueur h la circonférence de la base de ce cône (530).

(’) En effet, soit S la différence entre S ct.r, de sorte que

S — s~S. On tire de cette équation 1 — — . Or, puisque

la limite de — est Emule, c’est que la différence entre ce rap-

car si l'on prolonge l'axe SO d'une quantité SO'=SO et que l’on prenne le point S' pour le sommet d’un cône et de deux pyramides qui aient respectivement pour bases celles du cône proposé et de nos deux pyramides, il est clair que la surface 2S, enveloppant de toutes parts la double surface conique, sera plus grande qu’elle, taudis que la double surface 2s sera enveloppée par la double surface conique, et sera par conséquent plus petite qu’elle; donc la surface conique est comprise entre S et s, donc elle est leur limite commune. Puis donc que

on aura G = J . cire. R X G,

caries limites de deux quantités variables, qui restent

constamment égales, sont égales.

Théorème III.

638. L'aire de la surface courbe d'un tronc de pjg 237 cône droit À B A' B' à bases parallèles est égale au produit de la demi-somme des circonférences de ses bases par sa génératrice , ou au p/vduit de cette génératrice par la circonférence de la section faite à ésale distance de ses bases.

Coupons, en effet, le cône par un plan S AH conduit suivant son axe; par le point B menons dans ce plan sur la génératrice SB la perpendiculaire BC égale à la circonférence OB rectifiée; joignons SC, et tirons la parallèle B'C' à BC. Je dis d’abord qu’elle sera égale à la circonférence O'B'. En effet, les deux circonférences OB et O'B' sont proportionnelles à leurs rayons O B et O'B , et par conséquent aux droites SB et SB'; mais ces dernières sont dans le même rapport que BC et que B'C' : donc

cire. OB : cire. 0'B'::BG : B'C'.

port et Punite peut être rendue moindre que toute quantité donnée; donc , il en est de même de S , puisque s est une grandeur finie.

3 U LEÇONS DE GÉOMÉTRIB.

Or, les antécédents de cette proportion sont égaux : donc les conséquents le sont aussi; donc B'C' = cire. O' B'. Par conséquent, le triangle SB C' est équivalent à la surface courbe du cône S O' A' B' (637); et, comme le triangle SBC est aussi équivalent à la surface latérale du cône SOAB, on en conclut que l’aire de la surface courbe du tronc de cône AB A' B' est égale à celle du trapèze BC' : donc l’aire de ce tronc a pour mesure ^ (BC + B C').BB\ ou, ce qui revient au môme,

£ ( cire. OB + cv>r. 0'B').BB', conformément à la première partie de l’énoncé.

Si par le milieu de B B' on mène un plan A"B" parallèle aux bases du tronc de cône, et une parallèle B"C" à celles du trapèze, on verra facilement que B"C* = c//ic.O"B"; et, comme le trapèze BC' a pour mesure B"C ".B B', on en conclut encore que l’aire de la surface convexe du tronc de cône est égale à c7>c.O“B". BB', ce qui s’accorde avec l’cnoncé.

Théorème IV.

639. L’aire de la surface latérale d’un prisme quelconque est égale au produit de l’une de ses arêtes multipliée par le périmètre de la section droite, c’est-à-dire de la section faite dans ce prisme par un plan perpendiculaire à ses arêtes.

En effet chaque côté de la section droite peut être regardé comme la hauteur de la face correspondante du prisme, en prenant pour bases de cette face les deux arêtes qui la limitenl latéralement : donc, etc.

Théorème V.

640. L’aire de la surface courbe d’un cylindre circulaire quelconque est égale a la circonférence de la section droite multipliée par sa génératrice (').

( 1 ) Cola résulte de ce que l’on peut regarder un cylindre

Répétez ici la démonstration que nous avons donnée pour le cône au n° 637, en remplaçant les pyramides par des prismes inscrits et circonscrits au cylindre proposé. Seulement il faudra démontrer que les surfaces latérales des prismes inscrits et circonscrits au cylindre sont respectivement moindres et plus grandes que celle de ce cylindre, ce que l’on peut faire de la manière suivante :

1° Soient ABCD une des faces du prisme inscrit et Fig. 264. AEBDFC le fuseau cylindrique correspondant; si la première de ces deux surfaces n’est pas plus petite que la seconde, elle sera plus grande qu’elle ou elle lui sera égale. Supposons ABCD>AEBDFC et appelons M la différence de ces deux aires. Si l’on prend sur le prolongement de l’axe Gl une longueur GO qui soit égale à n fois GI, et que par le point O on mène un plan parallèle à celui des hases, il est clair que le fuseau AEBK.ML et le rectangle AK. seront n fois plus grands que le fuseau AEBDFC et que le rectangle AC; donc leur différence sera n fois M. Or, n étant un nombre entier arbitraire et M une aire donnée, on peut prendre n assez grand pour que «M soit plus grand que la somme des deux segments circulaires AEBA et KMLK, de sorte que l’on aura

ABKL— AEBKML>AEBA + KMLK, d’ou ABKL>AEBKML + AEBA + KMLK,

c’est-à-dire que la surface plane ABKL serait plus grande que la surface formée du fuseau cylindrique AEBKML et des segments AEBA et KMLK, laquelle est terminée au même contour, ce qui ne se peut. Donc on ne peut pas avoir A BCD> A EBDFC.

Supposons actuellement que ABCD=AEBDFC;

comme un prisme régulier infinitésimal. Cette proposition résulte encore de ce que le développement de la surface courbe d'un cylindre droit est un rectangle de même hauteur que ce cylindre, et dont la base est égale en longueur à la circonférence de la base du cylindre (537).

tirons les cordes AE et EB, 1)E et FC; il est clair que puisque les trois rectangles AF, ED et A D ont même hauteur et que la somme des bases des deux premiers est plus grande que la base du troisième, la somme de ces deux premiers rectangles sera plus grande que le troisième, c’est-à-dire que le fuseau AEBCFD; donc le rectangle AF serait plus grand que la moitié de AEBCFD, c’est-à-dire que le fuseau cylindrique qu’il sous-tend , ce qui est contraire à ce que nous venons de démontrer. Donc le rectangle ABCD ne peut pas être ni égal au fuseau ABDCFD ni plus grand que lui; donc il est plus petit; donc la surface latérale du prisme inscrit à un cylindre est plus petite que la surface courbe de ce cylindre.

2° La surface latérale du prisme circonscrit à un cylindre est plus graude que celle de ce cylindre, ce qui revient à prouver que l’aire du rectangle A'B'D'C' est plus grande que celle du fuseau AEBDFC. Par un raisonnement semblable au précédent, on prouvera facilement que, si A'B'D C'< AEBDFC, on pourra, en répétant ces deux surfaces un nombre convenable de fois, faire que l’on ait

AEBKML — A'B'D'C'>4AEA'A, et par conséquent

AKBKML>A'B'D'C'-f AEA'A-f-BEB'B-f KMK’K-f I.MI.'L, ce qui est contraire à la propriété énoncée au n° (554. Donc A'B'D (’/ n’est pas plus petit que AEBDFC.

Si A'B I)'C'=AEBDFC, on tirera une tangente à l’arc AEB au point A, on mènera un plan par cette droite et par AC, et en s’appuyant sur ce que la ligne brisée ANE<A'E, on sera conduit à conclure que le rectangle A N PC est plus petit que le fuseau cylindrique correspondant, ce qui est contraire à ce que l’on vient d’établir.

TïIKOR f’ME VI.