L'aire (le la surface courbe d'un tivnc de

cylindre circulaire droit a pour mesure la circonférence de sa base multipliée par son axe.

Car, si l’on prolonge l’axe du tronc d’une quantité égale à lui-même, et que, par sou extrémité, on mène un plan parallèle à la hase inférieure de ce tronc, ou formera un cylindre droit que le plan de la base supérieure du tronc partagera en deux parties superposables : donc, etc.

Théorème VU.

«42. L'aire de la sut face engendrée par la base BC d'un triangle isocèle qui tourne autour d'un axe fixe X Y, mené dans son plan par son sommet A , est Fig. 265. égale au produit de la circonférence qui a pour rayon la hauteur A M de ce triangle, multipliée par la projection B'C' de sa base sur l’axe de révolution.

Il est clair que dans le mouvement de rotation du triangle ABC autour de l’axe XY, supposé extérieur à ce triangle, le trapèze BC' engendrera un tronc de cône, de sorte que la surface courbe produite parBC est précisément la surface courbe de ce tronc : ainsi son aire A a pour expression (638).

A=27t.MM'.BC (1).

Mais si l’on mène par le poiut C la parallèle Cl à l’axe de révolution, on formera le triangle BCI semblable à A M M' (281) : donc leurs cotés homologues nous donneront la proportion (232)

AM: BC:: MM : Cl ou B'C'; d’où MM'. BC= AM. B'C': donc, en substituant dans (1),

A=2tt.AM.B C'.

Or, celte mesure est indépendante de la grandeur de l’angle CAY : donc elle reste la même, soit que l’axe X Y coïncide avec le coté AC, ou qu’il soit parallèle à la base BC; donc notre théorème est démontré dans tous les cas (640).

LBf-ONS DB GÉOMÉTBIB.

Théo ni: me VIII.

Fig. 266. (>43. L’aire île la surface engendrée par une li-

gne brisée régulière ABC DE qui tourne autour dé un axe mené dans son plan par le centre de la circonférence qui lui est inscrite, est égale au produit de cette circonférence par la projection A'E 'de la génératrice sur l’axe de révolution.

Eu effet, en tirant les rayons OA, OB, OC,,., on formera une série de triangles isocèles qui tourneront chacun autour d’un axe passant par son sommet, et il n’y a plus alors qu’à répéter le raisonnement du n° 636, en s’appuyant sur le théorème VII.

Théorème IX.

644. L’aire de la calotte sphérique a pour mesure le produit de la circonférence d’un grand cercle multipliée par sa hauteur, c’est-à-dire que

C = 2ttI \h,

en désignant par R, h et C le rayon, la hauteur et l’aire de cette calotte (*).

Fig. 267. Considérons, en effet, la calotte engendrée par la révolution de l’arc AB autour du diamètre AG : j’inscris et je circonscris à cet arc deux lignes brisées régulières d’un même nombre de côtés ADEFB et A'D'E'F'B'. 1

Je représente par A et par K' les aires des surfaces de révolution engendrées par ces lignes, en tournant autour du diamètre AG, par r l’apothême AI de la première, et par h' la projection A'C' de la seconde sur l’axe : nous aurons donc (643)

A , = 2trR/d, A = 2 tt rh, d’où = — -• 4 — .

Si l’on inscrit et si l’on circonscrit à l’arc AB d’au-

(‘) Si l’on fait tourner un secteur circulaire autour de l’un des rayons qui le limitent, sa base engendrera une calotte sphérique ; or cette base peut être regardée comme une ligne brisée régulière dont les côtés sont infiniment petits : donc, etc.

très lignes brisées d’un plus grand nombre de côtés, mais qui en aient toujours chacune le même nombre , et qu’on les fasse encore tourner autour du diamètre AG, toutes les quantités qui entrent dans ces trois équations varieront, à l’exception de R, qui est le rayon de l’arc AB, mais ces équations subsisteront toujours. Or, on peut prendre le nombre des côtés des deux lignes brisées assez grand pour que R et r diffèrent de moins que toute grandeur donnée (549). Il en sera de même de h' et de h ; car h' — h = A'C' — AC = A' A -f- C'G = BB' 4- CC/, quantité qui peut être rendue aussi petite que l’on voudra; car B'B, et afortiori CC', ont zéro pour limite (’). Donc la limite du

second membre de l’équation et par con-

séquent aussi celle du premier est l’unité; doue la différence entre A' et A peut être rendue moindre que toute grandeur assignable. Cela posé, je dis que l’aire de la calotte est comprise entre A' et A. D’abord elle est plus grande que A; car ce sont deux surfaces terminées au même contour, et A est convexe. Elle est moindre que A'; car si l’on mène au point B la tangente BR, il est clair que la surface engendrée par A'D'E F'KB sera plus grande que la calotte (654). Or, cette surface A'D'E' F' RB est plus petite que A'. En effet, ces deux surfaces ont une partie commune produite par la révolution de la ligne brisée A' D' E' F' R ; les aires des troncs de côue engendrés par RB et RB' sont respectivement égales à 7 ï(RL + BC) . RB et à tt(RL + B'C').RB'; mais la comparaison des triangles OBC et OB'C prouve que BC <B'C': d’un autre côté RB O RB' (52); donc la surface engendrée par RB est moindre que celle engendrée par RB'; donc la surface produite par A'D'E' F' B’ sur- (*)

(*) BB'=OB' — OB = OB' — OM<B'M, et CC' perpendiculaire aux deux parallèles BC et B'C' est plus petite que BB' oblique à ces droites.

passe celle qui est produite par A' B'C'D'F' R R; donc l’aire de la calotte est comprise entre A et A'; donc elle est leur limite commune. Puis donc que A'=2 ttR //,

on aura

C = $7rR/i;

car les limites de deux quantités variables, qui restent constamment égales, sont égales; donc enfin l’aire d’une calotte est égale à la circonférence d’un grand cercle multipliée par sa hauteur (*).

64iî. Corollaire i. L’aire d’une zone quelconque IN EliC est aussi égale h la circonjérence d’un grand cercle multipliée par sa hauteur CN; car elle est la différence des deux calottes AEN et ABC, et ainsi elle a pour mesure la circonférence d’un grand cercle multipliée par ( AC — AN), c’est-à-dire par NC.

646. Corollaire ii. Dans une même sphère, ou dans des sphères égales, les aires (les calottes et des zones sont proportionnelles à leurs hauteurs.

647. Corollaire tu. L’aire de la sphère est égale à la circonférence d’un grand cercle multipliée par son diamètre (*), car on peut la regarder comme une calotte dont la hauteur est égale à ce diamètre.

Comme le diamètre est quadruple de la moitié du rayon, il suit du n° 380 que l’aire de la sphère est quadruple de celle d’un grand cercle ( ').

( ' ) Si l'on observe que Alt ’ — 2 A O . A C , on verra que l’aire de ta calotte ABC a pour mesure jr A If 1 , c’cst-à-dirc qu'elle est égale à cette d'un cercle qui a pour rayon la corde qui soustendson arc générateur.

( * ) Ainsi l’aire de la sphère est les 7 ou les 7 de celle de la surface totale du cylindre circonscrit : car celle-ci vaut six fois celle de sa base , c'est-à-dire celle d’un grand cercle de la sphère.

( 3 ) Ainsi l'aire de la sphère est égale à celle de la surface latérale du cylindre circonscrit.

DES Al UES DES COURS.

Théorème X.

648. L'aire du fuseau CNDGC est égale au 240. quart de celle de la sphère multiplié par l'angle dièdt v formé par les plans des deux demi-circonf érences qui le terminent.

Décrivons, en effet, du point C comme pôle, et avec une ouverture de compas égale à un quadran , la circonférence de grand cercle FNGF, et il sera facile de voir, en raisonnant comme au n° 108, que Y aire F du fuseau est à celle S de la sphère comme l’arc N G est it la circonférence ON; car deux fuseaux qui interceptent sur celte circonférence des arcs égaux sont évidemment superposables, et ainsi

F : S :: NG : ci/r.ON : d’où F = S.—

cire . ON

Mais au rapport de l’arc NG à la circonférence ON,

* on peut substituer celui de l’angle dièdre G CD N à quatre angles dièdres droits (484) : donc, si l’on prend l’angle dièdre droit pour unité, et que l’on représente par A la mesure de l’angle dièdre GCDN, on aura

F = S. ou F = ^.A, ce qu’il fallait démontrer.

649. Scholie. Si l’on prend le triangle sphérique trirectangle pour unité, l’aire de la sphère vaudra huit unités : de sorte que celle du fuseau deviendra F = 2 A, c’est-à-dire qu’alors Y aire du fuseau aura pour mesure le double de. son angle.

Si l’on observe que S=cfrc.ON . CD (647), on aura :

F= NG.CD. Ainsi l’on peut dire encore que i 'aire du fuseau a pour mesure le produit du diamètre multiplié par l’arc compris entre ses cotés et décrit de son sommet comme pôle.

Théorème XI.

680. Deux triangles sphériques sj métriques sont équivalents.

Fig. 268. Soient ABC et A'B'C' les deux triangles proposés : les triangles rectilignes formés par les cordes qui soustendent leurs côtés étant équilatéraux entre eux, on pourra les faire coïncider, et par conséquent les pôles P et P' des cercles circonscrits à ces triangles (* *) seront situés de la même manière à l’égard des triangles sphériques proposés l’un au-dessus, l’autre au-dessous du plan commun, et à égales distances des deux circonférences. Si donc on, joint ces pôles au sommet des deux triangles ABC et A B' G' par des arcs de grand cercle, ces six arcs PA, PB, PC, P'A', P'B', P'C' seront tous égaux. Par conséquent, les triangles PAB et P'A' B', PAC et P'A'C', PBC et P'B'C', ont leurs trois côtés égaux chacun à chacun; mais ils sont isocèles: donc ils sont superposables; donc les aires des triangles proposés seront formées de la même manière avec celles des triangles auxiliaires, donc elles seront égales.

Théorème XII.

681. L’aire d'un triangle sphérique est égale à, l’excès de la somme de ses angles sur deux droits, en prenant pour unité celle du triangle trirectangle.

Achevons, en effet, les circonférences dont les trois Fig. 242. côtés de notre triangle A BC font partie, et l’on verra que les deux triangles ABC et BCA' composent le fuseau AC A'B A; qu’ainsi (649)

ABC + BCA' = 2]A.

De même ABC -f AC B' = 2B.

La somme des deux triangles A'B'C et A'B'C' forme le fuseau CA'C'B'C; mais le triangle A'B'C' est équivalent (681) «à son symétrique ABC : donc

( ■ ) Ce sont clos petits cercles , car si c’était tics grands cercles, les trois côtés de chacun de nos triangles étant situés dans un mémo plan , ces triangles deviendraient des cercles.

(*) Eu effet, les trois droites A A', BB'et CC', sont trois diamètres delà sphère (552, 2°) j de sorte que les deux triangles