ARC 4 - A'B'C = 2C

Si. iiiaiuteiiant on additionne ces trois équations, ou verra que la somme de leurs premiers membres se compose de deux fois le triangle ABC, et des quatre triangles ABC, DCA', A CB' et A'B'C qui forment l’Iié— tnisphèrc CABA'B’, lequel vaut quatre triangles tri rectangles, c’est-à-dire quatre unités; donc ou aura:

2 ABC + 4 = 2A + 2B + 2C; d’où A B C = A 4 - B 4 - C — 2.

Ainsi un triangle sphérique a pour mesure l’excès de la somme de ses angles sur deux droits , c’est-àdire le rapport de cet excès à l’angle droit.

Exemple. Quelle est l’aire d’un triangle dont les angles valent respectivement 120° 10', 95° et 48° ? L’excès de la somme des mesures de ces angles sur celle de deux droits est 83° 10' : ainsi il faut prendre le rapport de cct arc à la mesure d’un droit, c’est-àdire à 90°, cc qui se fera en convertissant ces deux nombres en minutes. On trouvera ainsi que le triangle proposé est les du triangle trircc-

tangle.

632. Conoi.r.AiRE, Si l’on observe que le triangle trirectanglc est le huitième de la surface sphérique, on pourra dire que l’aire d’un triangle sphérique est égale au huitième de celle de la sphère multiplié par l’excès de la somme de ses angles sur deux dioits.

Théorème XIII.

633. L 'aire d’un polygone sphérique convexe dont tous les côtés sont des aies de grand cercle est égale h la somme de ses angles diminuée d’autant de fois deux droits qu’il a de côtés moins deux.

A B C et A'B'C' sont interceptés par deux trièdres dont les arêtes de l’un sont les prolongements de celles de l’autre : ils sont donc bien symétriques.

Fn effet, si du sommet de l’un des angles on mène des arcs de grand cercle à tous les sommets des angles non adjacents à celui-ci, on décomposera le polygone en autant de triangles qu’il a de côtes moins deux; doue son aire sera égale à l’excès de la somme des auoies de tous ccs triangles sur autant de fois deux droits qu’il a de côtés moins deux ; mais la somme des angles de tous ccs triangles est égale à la somme même des angles de notre polygone ; donc son aire, est égalé, etc.