CHAPITRE PREMIER

DE LA MESURE DES VOLUMES

637. L e volume d'un corps est la portion de l'espace renfermée par la surface de ce corps. Pour mesurer le volume d'un corps } on cherche le rapport de ce volume a un autre que l’on prend pour unité.

Nous prendmns désormais pour Unité de volume celui du cube dont l’arête est égale h l’unité linéaire , de sorte que la mesure du volume d un corps sera le rapport de son volume il celui du cube qui apour coté l’unité de longueur.

Théorème I.

638. Les volumes de deux parallélipip'edes rectangles AC FI (') de même base sont proportion- Fig. 270. ne/s à leurs hauteurs A I) et FK.

Répétez la démonstration même dir n° 339, en menant, par les points de division des hauteurs, des plans parallèles aux bases.

Théorème II.

639. Les volumes de deux parallèlipipédes rectangles de même hauteur sont proportionnels h leurs bases.

Désignons, en effet, par P et P' les volumes de deux

(■) Désormais nous conviendrons, pour abréger, de désigner un parallélipipède par les lettres placées é deux sommets opposés.

parallclipipèdes, par e et l, par e et /', les deux côtés contigus de leurs hases respectives. Construisons un troisième parallélipipède rectangle P" de même hauteur h que les deux premiers, et qui ait en outre même épaisseur e que le premier, et même largeur ï que le second. Cela posé, si l’on compare les deux parallélipipèdes P et P", et qu’on prenne pour base la face qui, dans chacun, a pour côtés contigus e et h } on verra que t et/' seront alors leurs hauteurs, et qu’ainsi (657)

La comparaison du second parallélipipède avec le troisième donnera de même :

Donc, en multipliant ces deux proportions par ordre, et supprimant le facteur P" commun aux deux termes du premier rapport :

P : P':: l.e : t.e, ce qui démontre notre théorème.

Théorème III.

660. Les volumes de deux parallélipipédes rectangles sont proportionnels aux’ produits de leurs bases par leurs hauteurs.

Même démonstration qu’au n° 561.

Théorème IV.

661. Le volume d’un parallélipipède rectangle a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Désignons, en effet, par P le volume du parallélipipède à mesurer, par B l’aire de sa base , et par h sa hauteur; par C le volume du cube que l’on prend pour unité ; sa base sera donc égale à l’unité de surface, et sa hauteur à l’unité linéaire; donc, etc. (Voyez le n” 562).

662. La vérité de cette proposition devient évidente à l’inspection seule de la figure, lorsque les longueurs

DE r.A MESURE DES VOLUMES 329

des dimensions du rectangle sont des nombres entiers. Mais il est aussi facile de s’en assurer lorsqu’elles sont fractionnaires: car, soit le parallélipipède CE, dont Fi les trois arêtes AB, AD et AE valent respectivement 4“ -|, 3“ et 2 }. Par les points de division de chaque arête, je mène des plans parallèles à celui des deux autres, ce qui partage notre volume en mètres cubes et en parties de mètres cubes. Le parallélipipède HM est les f d’un mètre cube (6»7) ; donc la tranche I ABH vaut 4 m,c f;doncIABK. égale 4 œ,c $.3. Or, puisque K.C=?, m , la tranche LK.CD est le tiers de IABII, et vaut ainsi 4 m c §.£, de sorte que I A B CD = 4 mC $ .3 et par conséquent O ABCD = 4 mc .A .3^.2. Mais, puisque EO = } m , on voit que la tranche OGEF est les } de IABCD, et vaut ainsi 4“ C ^.3J.}; donc, enfin, le parallélipipède EC vaut 4 ra,c -ij . 3^.2}.

66."* . Corollaire. Si l’on observe que l’aire de la base est égale au produit de ses arêtes contiguës, on en conclura que le volume d’un parallélipipède rectangle a pour mesure le produit de ses trois dimensions.

THjéORÈWR V.

664. Le volume d’un cube a pour mesure la troisième puissance de son arête.

En effet, le cube étant un parallélipipède rectangle dont les trois arêtes sont égales, son volume aura pour mesure la troisième puissance de l’une d’elles (’).

661). Corollaire. En France, où l’unité linéaire est le mètre, l'unité de volume est le mètre cube. Celle unité se subdivise en mille décimètres cubes , te décimètre cube vaut mille centimètres cubes } et le centimètre cube vaut mille millimètres cubes ; ainsi.

(') Ainsi, lorsque l'on forme la troisième puissance «l’un nombre, on exécute l’opération nécessaire pour évaluer le volume du cube dont l'aréte contiendrait ce nombre-là d’unités linéaires. C’est pour cela (pie l’on a appelé cube d’un nombre la troisième puissance de ee nombre.

pour convertir un nombre quelconque de métrés cubes en DECIMETRES CDBES , OU en CENTIMÈTRES CUBES, OU en millimétrés cunES, il suffit d'avancer la virgule de trois, ou de six, ou de neuf rangs vers la droite.

Autrefois l’unité de volume était la toise cube, laquelle valait 21 6 pieds cubes. Le pied cube se composait de 1 728 pouces cubes , et le pouce, cube de 1728 lignes cubes.

Lorsque les dimensions d’un parallclipipède rectangle sont exprimées en toises et fractions de toise, ce qu'il y a de mieux à faire, pour en calculer le volume, est de convertir chacune d’elles en unités du dernier ordre. Proposons-nous, par exemple, de trouver le côté d’un cube équivalent à un parallclipipède rectangle dont les trois arêtes contiguës vaudraient respectivement 2‘ 3 P , 3‘ et 4 P 5 p : on réduira ces trois nombres en pouces, et, en multipliant les résultats entre eux, on trouvera que le volume du cube équivaut à 2060640 pouces cubes ('); de sorte qu’en extrayant la racine cubique du nombre abstrait 20Ô0640, on aura la longueur de son arête. On trouve pour sa valeur 127? = 1 l 4 p 7 p .

Théorème VI.