Deux parallèlipip'edes AG et AM sont équi

valents lorsqu'ils ont une face commune AC, et que les faces opposées a celle-ci EG et KM sont situées dans un meme plan et comprises entre les memes parallèles EL et IM.

En effet, le prisme triangulaire EAKIDN est égal à FBLGCM; car le parallélogramme Al est égal à BG, commes faces opposées du même parallclipipède AG (390); par la même raison, AN est égal à BM; (*)

(*) Si l’on veut évaluer ce volume en toises cubes et eu pieds cubes, on divisera le n mibrc de 2060640 par 1728 , puis le quotient par 216 , et l’on trouvera ainsi 5 toises cubes, 112 pieds cubes, 864 pouces cubes.

DE LA MESURE DES VOLUMES

de plus le triangle F, AK est égal à FBL, comme ayant un angle égal (71) compris entre côtés égaux (174): donc les prismes F.AK1UN et FBLGCM ont un angle trièdre compris entre trois faces égales chacune à chacune, et semblablement disposées; donc ils sont égaux (Si) 0). Mais, si Pou retranche le premier du polyèdre ABCDELMI, il reste le parallélipipèdc AM; et, si l’on retranche le second prisme du même polyèdre, il reste le parallélipipède AG : donc ces deux parallélipipèdcs sont équivalents.

Théorème VII.

667. Deux parallélipipèdes AG et AM de même Fig. 273. base et de même hauteur sont équivalents.

Eli effet, puisque ces parallélipipèdes ont la même hase inférieure et la même hauteur, leurs bases supérieures EG et KM doivent se trouver dans un même plan. Si donc on prolonge les plans des faces AF et DG du premier, ainsi que les plans des faces AN et BM du second, on formera un troisième parallélipipède AR (i>89), qui sera équivalent à chacun des deux autres AG et AM; car ils ont tous trois la face commune AC; et les faces opposées à celle-ci PR et EG,

PR et KM, sont situées dans le même plan , et comprises entre les mêmes parallèles EQ et lR, PN et QM: donc les deux parallélipipèdes AG et AM sont équivalents.

Théorème VIII.

• 668. Tout parallélipipède peut être transformé en Fig. 272. un parallélipipède rectangle de base équivalente et de même hauteur.

Soit ABFE la hase du parallélipipède proposé. Menons par chacun des côtés de ce parallélogramme des plans perpendiculaires à son plan. L’espace AG, compris entre eux et les plans des hases du parallélipipède proposé, sera un parallélipipède droit (o92) qui lui sera équivalent (667). Si donc la base AF était

tin rectangle, le théorème serait démontré. S’il n’en est pas ainsi , menez aux points A et B les perpendiculaires A R et BL terminées au prolongement de EL 1 ', puis conduisez des plans par les droites AD et AK, BC et BL, et vous formerez ainsi un parallélipipèdc rectangle AM (392) équivalent au parallélipipèdc proposé (666), qui aura même hauteur AD que lui, et une hase A L équivalente à la sienne AF (367).

669. Corollaire. Le volume d’un parallélipipède quelconque a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur (661).

Théorème IX.

670. Tout prisme triangulaire est la moitié d'un parallélipipèdc de base double et de même hauteur.

274. Soit ABCDFG le prisme proposé. Je mène par les arêtes B F et GC des plans parallèles à ses faces respectives AG et AF, et je forme ainsi un parallélipipède AK, que le plan CF partage en deux prismes triangulaires ABCDFG et BCIGFK. (*); donc, en démontrant qu’ils sont équivalents, j’aurai prouvé que le premier est la moitié du parallélipipède AK. Pour y parvenir, je prends sur le prolongement de l’arête A1) une longueur A'D ==AD, puisje mène par les points D' et A' deux plans perpendiculaires à cette arête , et l’espace compris entre eux et les plans des faces latérales du parallélipipèdc AK, sera un parallélipipède droit A'K.', que le plan C F partagera en deux prismes droits égaux (600). Ürjedisquechacun d’eux est équivalent au prisme oblique correspondant ; car, si l’on porte le tronc de prisme A B C'ABC sur D'F'G'DFG, on pourra évideinme'nt faire coïncider leurs bases inférieures A'B'C' et D'F'G', et alors leurs arêtes latérales coïncideront aussi (434); mais, puisque A'D' = AD, ou voit que A A' = 1)D' : donc le point A tombera sur D ; il en sera

( ’ ) Ces prismes sont svMKTaujui* par rapport au rentre rtu paraHéli/Mprde (590 et 620).

DE I.A MESURE DES VOLUMES. 333

tic même tics sommets C et B à l’égard de leurs homologues G et F, de sorte que les deux polyèdres A’B'C'ABC et D'F'G'DFG se recouvriront parfaitement : donc ils sont égaux; mais, si de chacun d’eux on retranche le tronc de prisme D'F'G'ABC, il restera d’une part le prisme droit A'B'C'D' F G', et de l’autre, le prisme oblique ABCDFG : donc ils sont équivalents. 11 en est évidemment de même de B'C'l'G'F'K' et de B CIG F K : donc enfin les deux prismes ABCDFG et BCIGFK sont équivalents; donc chacun d’eux est la moitié du parallélipipède A K de hase double et de même hauteur.

671. Corollaire i. Le volume de tout prisme triangulaire a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

En effet, un prisme triangulaire quelconque étant la moitié d’un parallélipipède de base double et de même hauteur, son volume aura pour mesure la moitié de la base de ce parallélipipède multipliée par sa hauteur, c’est-à-dire le produit même de sa base par sa hauteur.

672. Corollaire ii. Le volume d’un prisme polygonal quelconque a pour mesure le produit de sa

base par sa hauteur; car, si l’on partage la base ABCDE Fig. 250. en triangles par des diagonales, et que par ces lignes et les arêtes auxquelles elles aboutissent on mène des plans, on partagera le prisme AI en prismes triangulaires qui auront même hauteur que ce prisme, et dont chacun aura pour mesure le produit de l’aire du triangle qui lui sert de base multipliée par cette hauteur. Dans l’addition de ces volumes partiels, on pourra mettre la hauteur en facteur commun , et alors on trouvera, pour l’expression du volume demandé, la somme des aires des triangles qui composent la base du prisme AI, c’està-dire l’aire de cette base multipliée par sa hauteur.

Théorème X.

673 Le volume d'un cylindre droit a pour me-

sure le produit de sa base par sa hauteur (•), c’est-àdire qu’eu désignant par C, h et R le volume, la hauteur et le rayon de la hase de ce cylindre, on aura

C = 2rrIU.

264. lin effet , j’inscris et je circonscris au cylindre proposé deux prismes réguliers dont les bases soient semblables; je représente par V cl par v leurs volumes et par B et par b les aires de leurs bases; nous aurons

V = BA et v — bh, d’où — = 5.

Si l’on inscrit et si l’on circonscrit à notre cylindre d’autres prismes réguliers dont les bases toujours semblables aient un plus grand nombre de côtés, toutes les quantités qui entrent dans ces équations varieront à l’exception de h , mais ces équations subsisteront toujours. Or, on peut prendre le nombre des côtés des bases assez grand pour que B et Z» diffèrent de moins que toute grandeur donnée; donc la limite du second membre

de l’équation - = — , et par conséquent aussi celle du

premier est l’unité ; donc la différence entre V et v peut être rendue moindre que toute grandeur assignable ; mais le volume du cylindre est évidemment compris entre V et v ; donc il est leur limite commune. Buis, donc que

on aura

C = 2t:RAj

car les limites de deux quantités variables, qui restent constamment égales, sont égales.

Exemple. Quelle est la mesure de l'effort exerce sur le piston d'une machine h vapeur, en supposant que le diamètre de ce piston ait 5 décimètres, et que l’on travaille sous une pression de 3 atmosphères ?

(') Cela résulte de ce qu’on peut le regarder comme un prisme infinitésimal.

UE LA MESURE UES VOLUMES. 33 5

l/aire du piston est ^ 25‘ l,m-< l.3,142 = 19‘ 1- “^,64. Mais la pression atmosphérique est égale au poids d’une colonne d’eau de 10 m ,4 de hauteur : doue l’effort exercé sur le piston est le poids d’une colonne d’eau dont le volume est (19,64. 10,4. 3) d,m-c , c’est-à-dire qu'il est égal à Gl2 k-6 ,69.

674. Corollaire. Le volume d’un tronc de cylindre circulaire droit a pour mesure le produit de sa base par son axe (641).

Théorème" XI.

676. Deux tétraèdres S ABC et s abc qui ont des Fig. 275. bases équivalentes et des hauteurs égales S O et su, sont équivalents.

Supposons, en effet, que les deux tétraèdres ne soient pas équivalents, et que le volume du premier soit le plus grand. On pourra toujours construire sur sa hase ABC, un prisme équivalent à la différence des deux volumes : car il suffira , pour avoir sa hauteur OC, de diviser cette différence par la moitié de l’aire du triangle ABC (670). Cela posé, partageons la hauteur S O en parties égales et plus petites que O G, de sorte qu’il tombera au moins un point de division I entre O et G, puis, après avoir placé les bases des deux tétraèdres sur un même plan, menons par tous les points I, R, L, des plans parallèles à celui-ci. Les tétraèdres seront ainsi partagés en tranches de même hauteur, et dont les bases seront équivalentes chacune à chacune (688). Conduisons actuellement par chacun des côtés BC, B'C', B"G", B"'C"', des plans BE', B’E",

B"E"' f B^'E 1 ', parallèles à l’arête SA, et par les côtés b'c', b'c'', b'c ', des plaus b'e, b"e' , b'"e", parallèles à l’arête sa; et, de plus, par le sommet S du premier tétraèdre tnenons un plan parallèle à sa hase ('). Nous

(’) Les traces du plan BL' sur les faces de l'angle dièdre SA se construisent eu tirant par les points B et C des parallèles BD' et CE' à SA, terminées aux prolongements de A'B' et de A'C' et la droite D'E' est sa trace sur le plan A'B'C'.

336 LEÇOXS DE GÉOMÉTRIE,

fonnerons ainsi deux séries de prismes, les uns plus grands, les autres plus petits que les tranches pyramidales qui leur correspondent, de sorte que la différence entre la somme des prismes circonscrits aux tranches du premier tétraèdre et celle des prismes inscrits aux tranches du deuxième surpassera la différence de ces deux tétraèdres. Mais la différence de ces deux sommes de prismes est le prisme A BCE': car tous les prismes circonscrits sont, à partir du deuxième A B C E", équivalents aux prismes inscrits, comme ayant des hases équivalentes et des hauteurs égales chacune à chacune : donc le prisme ABCE' doit être plus grand que le prisme équivalent à la différence des deux tétraèdres,' ce qui ne se peut; car ils ont la même base ABC, et la hauteur OI du premier est moindre que celle OG du deuxième. Donc on ne pouvait pas supposer que les deux, tétraèdres S ABC et sabc ne fussent pas équivalents : donc ils le sont.

Théorème XII.

676. Un Ironc de prisme triangulaire est la somme Fig. 276 . de t/vis tétraèdres de même base DEF que lui, cl dont les sommets sont ceux A , B , C , de sa base supérieure.

Menons, en effet, par le point A et l’arête FE, un plan dont les traces sur les faces CD et BD seront les droites AF et AE. Nous retrancherons du tronc le tétraèdre AFDE, dont la base est celle même du tronc, et qui a pour sommet l’un de ceux A de la base supérieure. Il restera alors une pyramide quadrangulairc ABCFE que l’on partagera en deux tétraèdres ACFE et ACBE, en faisant passer par ses arêtes A C et A E un plan qui coupera sa base suivant C E. Ou peut substituer au premier le tétraèdre CDFE : car ils ont la même base CFE et même hauteur, puisque leurs sommets A et D sont situés sur une parallèle AD au plan de cette base (4 4«S); mais on peut regarder ce tétraèdre CDFE comme ayant pour base celle même

1)B LA MESURE DES VOLUMES. 337

DF Ella tronc, et pour sommet celui C île sa base supérieure : ainsi , il satisfait encore aux conditions de l’énoncé.

Il ne s’agit donc plus que de prouver que le troisième tétraèdre ACRE est équivalent au tétraèdre BDFE,quia pour base le triangle DF E, et pour sommet le troisième sommet 1$ de la base supérieure du tronc. Or, la chose est manifeste ; car, si l’on considère le tétraèdre BDFE comme ayant pour base le triangle BFE, et pour sommet le point D, on reconnaîtra que sa base est équivalente à celle du tétraèdre ACBE (570), et qu’il a même hauteur que lui, puisque leurs sommets D et A sont sur une parallèle au plan de ces bases.

G77. Corollaire i. Comme celte démonstration est tout à fait indépendante de l’inclinaison mutuelle des plans ABC et DEF, on voit qu’elle convient au cas oii ces plans sont parallèles, c’est-à-dire au ras où le polyèdre A BC 1) E F est un prisme. Mais alors les trois tétraèdres dont il est la somme sont équivalents (67o) : donc chacun d’eux est alors le tiers de ce prisme; donc un tétraèdre est le tiers d'un prisme de même base cl de même hauteur , et , par conséquent, son volume a pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur.

678. Corollaire h. Le volume (l'une pyramide quelconque a pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur. (Répéter ici le raisonnement du n° 672.)

679. Cor ou. a ire m. Deux pyramides symétriques sont équivalentes : car, en prenant le plan de la base de l’une pour plan de symétrie, il devient alors évident qu’elles ont des hauteurs égales (625).

680. Corollaire iv. Le volume d'un tronc de prisme triangulaire a pour mesure le produit de sa base inférieure par le tiers de la somme des trois per pendiculaires abaissées sur celle base des sommets de l’autre. On le reconnaît en additionnant les volumes

des trois tétraèdres qui le composent, et mettaul la

base en facteur commun.

On peut dire aussi qu’tm tronc de prisme triangulaire a pour mesure l’aire de sa section droite, multipliée par le tiers de la somme de ses arêtes latérales.

En effet, la section droite partage le tronc en deux parties qui, étant des troncs de prismes droits, ont chacun pour mesure l’aire de cette section multipliée par le tiers de la somme de scs arêtes latérales , donc , etc.

Théorème XIII.

681. Le volume d’un cône quelconque a pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur^ 1 ). (Répéter la démonstration du n° 675.),

Théorème XIV.

682. Un tronc de pyramide a bases parallèles est la somme des tmis pyramides de meme hauteur que lui , et dont les bases respectives seraient les deux bases du tronc et une moyenne proportionnelle entre ces deux bases.

Fig. 277. Soit TGHIKL une pyramide quelconque. Transformons sa base en un triangle DEF, et construisons sur ce triangle un tétraèdre de même hauteur que la pyramide. Alors, si, ayant placé les deux hases sur un même plan, on coupe les deux polyèdres par uu plan parallèle à celui-là , on déterminera deux sections MNOPQ et ABC qui seront équivalentes : car elles sont proportionnelles aux hases. I,cs deux pyramides retranchées sont donc équivalentes, puisqu’elles ont même hauteur et des hases équivalentes. Mais les pyramides totales le sont aussi par la même raison : donc les deux troncs sont équivalents; et, comme ils ont

(') Cela résulte de ce qu’on peut regarder en cône comme nue pyramide infinitésimale.

Diaitizerih v Goo gle

DK LA MESUHË DES VOLUMES. 339

même hauteur et des bases équivalentes, on voit que, si l’on peut démontrer le théorème pour le tronc de pyramide triangulaire, il le sera aussi pour le tronc de pyramide polygonale.

Menons un plan par le point A et par l’arête FE, et nous retrancherons du tronc ABCDEF le tétraèdre ADFE qui a pour base la base inférieure du tronc et même hauteur que lui , puisque son sommet A est un de ceux de la base supérieure. 11 restera alors la pyramide quadrangulaire ABCFE, que l'on partagera en deux tétraèdres A CFE et ABCE, en faisant passer un plan par ses arêtes AC et AE. Le second a pour base la base supérieure du tronc, et même hauteur que lui , puisque son sommet E est un de ceux de la base inférieure : ainsi, nous avons déjà deux des trois pyramides dont il s’agit.

Or, si l’on prend F G = C A , et que par le point G et la droite CE on mène un plan, dont les traces sur les faces SFD et FDE seront CG et GE, on formera un tétraèdre CFGE, que l’on pourra substituer au troisième tétraèdre ACFE : car ils ont la même hase CFE, et leurs sommets G et A sont situés sur une parallèle au plan de cette hase. Mais en prenant le point C pour sommet de CFGE , ce tétraèdre a même hauteur que le tronc : si donc on peut prouver que sa base FGE est moyenne proportionnelle entre celles de ce tronc, le théorème sera démontré. Pour le faire voir, je prends FI =CB, et je joins G l , ce qui forme le triangle FGI égal à ABC 159). Or, les doux triangles FG I et FGE ont leurs bases Fl et FE en ligne droite, et leurs sommets au même point G : donc ils ont même hauteur; donc ilssont entre eux comme leurs bases(571); donc

FGI ou ABC : FGE :: FI ou BC: FE.

La comparaison des triangles FGE et FUE donne semblablement :

FGE : FDE : : FG ou AC : FD.

Mais los triangles semblables (2oO) ARC et FDE ont leurs côtés homologues proportionnels : ainsi le l’apport de RC à FE est égal à celui de AC à FD; donc, les seconds rapports de nos deux proportions étant égaux, les premiers le sont donc aussi, et l’on a par conséquent :

ARC : FG E : : FGE : FDE,

ce qui prouve que le triangle FGE est moyen proportionnel entre les deux bases du tronc, et achève de démontrer notre théorème (•).

(•) On peut démontrer ce théorème de la manière suivante qui est très simple.

Désignons par A’ et par a ' les aires de deux carrés équivalents aux hases du tronc , par H et par li les hauteurs des pyramides dont il est la différence, par V et par e les volumes de ces pyramides et par k la hauteur du tronc : on aura

V — y A’ H et v~~a i h y d’où V — i>=-j-(A*II — n 3 /j). Mais en vertu du théorème du n° 087, on a

A’ I n * " H* \ h 1 et parlant A ï a ” U ‘.h, proportion de laquelle on tire

En substituant ces valeurs de II et de h dans l'expression «lu

volume du tronc, il viendra, en mettant — en facteur commun,

Si l’on affectuc la division de (A J — n 3 ) par (A —a), on trouvera :

V — l>=y(A* + Aa|«’),

ou , ce qui revient au même,

V — - v = A A> k + -f a * k -f- i A n k , et celte formule est l'expression de notre théorème , car A « est une moyenne proportionnelle entre A’ et a ».

1)E LA MESURE DES VOEUMES. 3*1

685 . Corollaire i. Le volume cl’un tronc de pyramide a bases parallèles a pour mesure le produit de sa hauteur parla somme faite de ses deux bases et de leur moyenne proportionnelle.

Théorème XV.

684 . Un tronc de cône a bases parallèles est la somme de t/ois cônes de même hauteur que lui, et dont les bases respectives seraient les bases mêmes du tronc et une moyenne proportionnelle entre ces deux bases.

Pour le démontrer, il n’y aura qu’à construire un tétraèdre de même hauteur que le cône d’où provient le tronc et dont la base soit équivalente à celle de ce cône. 11 sera facile de reconnaître, en raisonnant comme dans le premier paragraphe de la démonstration du théorème XIV, que le tronc de cône est équivalent à un tronc de pyramide triangulaire de même hauteur et dont les hases seront équivalentes aux siennes, de sorte que le théorème étant vrai pour un tronc de pyramide triangulaire, le sera aussi pour un tronc de cône (*).

Si le tronc de cône est circulaire, et qu’on désigne par h sa hauteur, par R et par r les rayons de ses bases, . on trouvera facilement que la mesure de son volume a pour expression :

Ainsi le volume d'un t/onc de cône circulaire à bases parallèles a pour mesure le tiers du produit du rapport de la circonférence au diamètre multiplié par sa hauteur, et encore par la somme faite des cariés des rayons de ses bases et de leur produit.

Théorème XVI.

685 . Le volume d'un tronc de parallélipipède a pour mesure le produit de sa base inférieure par le

(') 11 sera encore plus simple d'appliquer ici la démonstration donnée dans la notc(' ) du n° G8‘2.

quart de la somme des perpendiculaires abaissées sur cette base des sommets de l’autre.

Fig. 278. Désignons par a , b, c, d, les perpendiculaires abaissées des sommets respectifs A, B, C, D, de la base supérieure sur la base inférieure, et représentons l’aire de celle-ci par B. Cela posé, si nous menons un plan par les deux arêtes opposées AE et CG, nous décomposerons le tronc deparallélipipède en deux prismes triangulaires tronqués dont les mesures seront respectivement

B a b -\-c , B rt + c-pri

2* 3 ’ Ct 2 * 3 •

Si nous conduisons de même un plan par les deux arêtes BF et DH, nous décomposerons notre troue en deux nouveaux prismes tronqués dont les volumes auront pour mesures

2 ’ 3 Ct 2 ’ 3

Si nous ajoutons ces quatre produits, nous aurons évidemment le double du volume V du tronc de parai-

lélipipède : donc, en mettant' - en facteur commun ,

il viendra

car chacune des perpendiculaires a, b , c , d, est répétée trois fois. En divisant par 2, on aura enfin

v=ï(u + i + o + rf), ou \ = n /!±ï±±i ,

ce qu’il fallait démontrer.

On peut dire aussi qu’«« tmne de parallélipip'ede a pour mesure l’aire de sa section droite multipliée par le quart de la somme de ses arêtes latérales (680).

Problème I.