Calculer le volume d’un polyèdre quelconque

DE EA MESURE DES VOLUMES. 343

Il n’y aura qu’à décomposer ce polyèdre eu pyramides, et évaluer le volume de chacune d’elles.

Mais la nature du polyèdre proposé fournit souvent des moyens plus simples d’en obtenir le volume. Supposons, par exemple, qu’on demande le volume compris entre deux murs en talus terminés chacun par un plan perpendiculaire à sa direction, et soient ABCFEDFig. 279. et A'B'CT'E'D' les plans inférieur et supérieur de ces murs. Le plan EBE'B' partage le volume demandé en deux troncs de prisme droits FC'B'E et DA'B'E, faciles à mesurer, en les décomposant en troncs de prismes triangulaires. En désignant par a, b, a', b\ c, c', et h les arêtes BC, EF, B'C', ET', CF, CT' et FF', on trouvera pour le premier tronc FC'B'E :

Si, au lieu de considérer le volume proposé, on considère un hexaèdre symétrique par rapport à deux plans rectangulaires, il n’y aura qu’à faire dans cette formule o'= b\ a = b } et regarder c et c' comme les largeurs des faces CE et C’E' et h comme la distance de leurs plans, et on trouvera

V== ÏÏ ( c '( 2fl '+ rt, ) + c ( 2 «+«')} •

Si c =z 0, clic sc réduit à V = ^-(2 a + a').

Ces formules serviront à calculer les capacités des fossés.

Théorème XVII.

687 . Le volume engendré par la révolution d'un triangle autour d’un axe mené dans son plan et par son sommet , a pour mesure le produit de l’aire engendrée par la base du triangle multipliée par le tiers de sa hauteur.

Il peut arriver trois cas, suivant que l’axe de révolution coïncidera avec un des côtés du triangle, qu’il rencontrera sa base , ou qu’il lui sera parallèle :

34V LEÇONS DE GÉOMÉTKTE.

1° Supposons cpic le triangle ABC tourne autour île Fig. 280. son côté ÀC : il est clair que le volume V qu’il engendre ra sera la somme des cônes produits par la rotation des triangles ABB' etBCB ; mais, comme ils ont la même base , on voit que la somme de leurs volumes est égale au tiers du produit de cette base par la somme de leurs hauteurs AB' et B'C : donc

V= J ttBF\ AC.

Or, l’aire A de la surface engendrée par BC a pour expression (657)

A = irBB'.BC;

d’un autre côté, la similitude des triangles A MC et B CB' (249) donne la proportion

AM : BB':: AC : BC; d’oùBB'.AC = BC.AM;

et, par conséquent, en multipliant les deux membres de cette dernière égalité par J t: BB',

•jf 7 : BÏT’. AC = i ttBB'.BC. AM.

Mais le premier membre de cette équation est la mesure du volume cherché Y, le produit rt BB'. BC est celle de l’aire A engendrée par BC; donc nous aurons enfin, en remplaçant ,

V=iA.AM, ou V = A. J AM, conformément à lcnoncé.

2° Supposons maintenant qu’il s’agisse du triangle A BD tournant autour de AC. Le volume demandé sera alors la différence des volumes engendrés par les triangles ABC et ADC; et, comme chacun a pour mesure le produit de l’aire de la surface décrite par sa base, multipliée par le tiers de la hauteur commune AM, on voit que la mesure que l’on cherche est encore égale à la différence des aires de ces deux surfaces, c’est-à-dire à l’aire engendrée par BD, multipliée par le tiers de AM.

Fig. 281. 3" Les cônes engendrés par les triangles B AB' et

DAD' sont les tiers respectifs des cylindres AMBB'

DE IA MESURE DES VOLUMES. 315

et AMDD' : donc leur somme est le tiers du cylindre BDD'B' , et, par conséquent, le volume engendré par le triangle ABD est les deux tiers de celui de ce cylindre; ainsi

V = firÂM\BD = 2r AM.BDX^AM.

Blais 2 ir A BI . BD est la mesure de l’aire A de la surface cylindrique engendrée par BD (640) : donc encore