Y = A.|AM

* 686. Corollaire i. Si l’on joint le sommet du 280. triangle ABD avec le milieu I de sa base, l’aire A engendrée par cette base aura pour expression A =

2 tt . 1 1'. B D , de sorte que l’on aura ainsi

V = $t:.II'.BD.AM.

Mais le centre de gravité G du triangle ABD se trouve sur AI et aux deux tiers de cette droite à partir de A (293): donc GG'= |1I'; d’un autre côté, le produit BD. AM est le double de l’aire du triaugle ABD; donc la valeur de Y deviendra ainsi

V = ABD . 2itGG',

c’est-à-dire que le volume engendré par la révolution d’un triangle autour d’un axe , mené dans son plan par son sommet, a pour mesure son aire multipliée par la circonférence décrite par son centre de gravité.

689. Corollaire ii. Le volume engendré par la révolution d’un secteur polygonal régulier autour d'un des rayons qui le terminent, a pour mesure Taire de la surface engendrée par sa base multipliée par le tiers de son apothème (643).

Théorème XVIII.

690. Le volume d’un secteur sphérique a pour mesure le produit de Taire de la calotte qui lui sert de base multipliée par le tiers du rayon ('), c’est-à-dire

( 1 ) On peut , en effet , regarder cette calotte comme uni 1 surface polyédrale dont les faces seraient infiniment petites (509) ;

qu’en désignant par V et par 11 le volume et le rayon de ce secteur et par C l’aire de la calotte qui lui sert de base, on aura

.267. Considérons, en effet, le secteur sphérique engendré par la révolution du secteur circulaire AEBO autour du rayon AO : j’inscris et je circonscris à l’are . AB deux lignes brisées régulières du même nombre de côtés AI) EF B et A D’E'F'B' ; je représente par s et S les volumes engendrés par les secteurs polygonaux correspondants , par a et par A les aires des surfaces de révolution décrites par ces deux lignes et par/Tupothême de la première. Nous aurons

en remplaçant A et « par leurs valeurs respectives 27iR.A'C / ct2rrr.AC.

Si l’on inscrit et si l’on circonscrit à l’arc AB des lignes brisées toujours semblables et qui aient un plus grand nombre de côtés, toutes les quantités qui entrent dans ces équations varieront, .à l’exception de R, mais ces équations subsisteront toujours. Or, on peut prendre le nombre des côtés des deux lignes brisées assez grand pour que R et r diffèrent de moins que toute grandeur donnée, et il en sera alors de même de A'C' et de AC, comme nous l’avons prouvé dans la démonstration de l’aire de la calotte (644). Donc la limite du second membre de notre 3* équation, et, par conséquent, aussi celle du premier est l’unité : donc la différence entre S et s peut être rendue moindre que toute quantité assignable. Mais le volume V du secteur sphérique - lest évidemment compris entre S et s; donc il est leur limité commune. Puis donc que

de sorte qu’en menant des plans par le centre de la sphère et ’ v par chacune des arêtes de cette surface, on décomposera le secteur sphérique en une infinité de pyramides qui auront pour hauteur commune le rayon de la sphère , etc.

DE LA MBSURB DES VOLUMES