S = 1AR
on aura
V = iCR.
691. Corollaire i. Le volume de la sphère a pour mesure l'aire de la surface sphérique multipliée par le tiers du rayon. Si donc on désigne ce rayon par R, on aura pour expression de ce volume :
sph. R =4 TT R* . J R (•) = irr R 3 :
ainsi on peut dire que le volume de la sphère 7i pour mesure les quatre tiers du rapport de la circonférence au diamètre multipliés par le cube du rayon, ou le sixième de ce rapport multiplié par le cube du diamètre D ; car onaR = ^, C t partant tt R’= J n D’.
692. Corollaire ii. Le volume d’un onglet sphérique est égal au quart de celui de la sphère multiplié par son angle.
Théorème XIX.
693. Le volume engendré par la révolution d’un segment de cercle A M B A autour d’un diamètre, ex- Fig. 282. térieur à ce segment , est le sixième d’un cylindre
qui aurait pour rayon la corde A B de ce segment, et pour hauteur la projection A'B' de cette corde sur l’axe de révolution OC.
Joignons, en effet , O A et OB , et il est clair que le corps engendré par le segment A MB A sera la différence do ceux engendrés par le secteur O AM B et par le triangle OAB. Or, le premier de ces corps étant la différence des deux secteurs sphériques OC B et OC A, son volume sera égal au tiers du rayon multiplié par la
(*)Ou, ce qui revient au même, il l’aire d’un grand cercle multipliée par les -J- du ravon ou par les -J- du diamètre 5 niais le volume du cylindre circonscrit à la sphère est égal à l’aire d’un grand cercle multiplié par le diamètre : donc le volume (le la sphère est tes - de celui du cylindre circonscrit. Ce théorème et ceux énoncés dans les notes (*) et ( J ) du numéro 647 sont dus à Archimède.
différence des calottes qui leur servent de base, c’està-ilire par l’aire de la zone AMD : ainsi
vol. OAM B = zone AMU. frcÂC)* . A'B' (643).
D’un autre côté, le volume engendré par le triangle O AB a pour expression (687)
vol. O A B = suif. A B . ^ = |ir 01*. A'B' (642) :
donc ,
vol. A M B A = § r A' B' (Âü*— ÜT ).
Mais le triangle rectangle AOI donne
ÂÜ’— üI*=Âl’=^,
car AI = donc on aura enfin, en remplaçant,
vol. A MB A = \ t:ÂB*. A' B', ce qui démontre notre théorème (673).
Théorème XX.
694. Le volume d'une tranche sphérique est égal h celui d’un cylindre de meme hauteur que la tranche } et ayant pour base la demi-somme de scs bases , plus le volume d'une sphère qui aurait pour diamètre la hauteur de la tranche.
Considérons la tranche engendrée par la révolution du segment A’ AM B B' autour du diamètre CI). Sou volume V se compose de ceux engendrés par le segment AMBA et par le trapèze AB': ainsi, il a pour expression (693 et 684) :
V= i 7r ÂB\ A' B' + f * A' B' ( Â~Â’ + BF“ + A A'. B B ) ; ou, en mettant J tt A' B' en facteur commun,
V= J r A' B'(ÂB* + 2 ÂT' + 2 BÏF’ + 2 A A'. BB').
Or, comme nous voulons exprimer le volume de la tranche en fonction seulement de scs bases et de sa
DE LA MESURE DBS VOLUMES. 349
hauteur, il fant éliminer AB’ de l’expression précédente. Pour cela, j’abaisse sur B B' la perpendiculaire AF, et le triangle rectangle ABF me donne AB’= AF*+BF*. Mais, B F étant la différence des droites BB'et A A', son carré vaut RB'* + AA'* — 2AA'.BB'(594); donc ÂB*r=Âir*+ BÏT’+Za’— 2AA'.BB', car AF=A'B'; donc en remplaçant dans l’expression deV, il viendra, après avoir réduit,
V = 1 7 r A' B' (FÎT’ + 3ÂÂ"'* + 3 BB~* ),
ou, en effectuant là multiplication de A B * par g TT À B', et celle de 3 A A'* + 3BB , ‘ par * tt,
y= i TT A' B J + A'B'^- ft A * ~ rli B " ) ,
formule qui démontre notre théorème; car J- t: A' B ,J est le volume de la sphère dont A B' est le diamètre , et
j peut être regarde comme un cercle
dont l’aire serait la demi-somme des bases de la tranche.
69o. Corollaire. En observant tju’un segment sphérique peut être considéré comme une tranche dont la base supérieure est nulle, on voit quW segment sphérique est égal a la moitié cC un cylindre de même base et de même hauteur que lui, plus la sphère dont cette hauteur est le diamètre.
696. Si l’on représente par R et par h le rayon et la hauteur du segment sphérique engendré par AC A', on aura , pour expression de son volume ,
V = irc/i.ÂA'’ + j7r/ i 5 .
Mais (256, 1°) AA' J = A(2R — h ); en substituant, mettant J t: A’ en facteur commun et réduisant, il viendra
de sorte que le volume d'un segment sphérique a pour mesure le tiers du pwduil du rapport de la cir-
conférence au diamètre, multiplié par le carré de sa hauteur et encore par l'excès du triple du rayon sur cette meme hauteur (').
Problème II.
697. Évaluer le volume d'un tronc de pyramide dont les bases ne sont point parallèles.
Ia question revient évidemment à déterminer les hauteurs de la pyramide totale et de la pyramide retranchée. Pour déterminer celle de la première, je fais Fig. 277. aux points G et H deux angles égaux à QGH et à MH G, puis, du sommet du triangle résultant, j’abaisse sur GH la perpendiculaire indéfinie T’ Il O. Alors, si l’on replie ce triangle sur TGH, le point T' ira se placer sur T, de sorte que les deux droites TR et RO détermineront un plau perpendiculaire à la base de la pyramide ; donc le pied de sa hauteur sc trouvera sur TR O; donc si l’on fait aussi aux points II et I des angles égaux à MHl et à NIH, cl que du point T" on abaisse une perpendiculaire T" S sur III, le pied de la hauteur de la pyramide devra aussi sc trouver sur le prolongement de cette droite; donc il sera le point O. On connaîtra donc, dans le triangle rectangle TRO, l’hypoténuse TR = T'R I et le côté RO; donc il sera facile de déterminer T O. Une construction semblable fera connaître la hauteur de la petite pyramide.
Problème III.
*698. Trouver le volume, engendré par un hexagone régulier A BC DE F tournant 1° autour d’un de ses cotés AB; 2" autour de sa première diagonale AC. Fig. 283 1° Le volume demandé Y sc compose du double du
volume engendré par le triangle RDC et du cylindre
(■) Ou parviendrait directement à ce résultat en observant que le segment sphérique engendré par ACA' est la différence des volumes du secteur sphérique et du cône engendrés par O AC et par O A A'.
Dinit i^n rt hv Cioo glc
DE LA MBSORE DES VOLUMES. 351
décrit par le rectangle AD. Or, B D = a V 3 (338), en désignant par a le côté de l’hexagone ;
donc
CI =1 etBI = 2 i/3;
donc
2w/.nnc=^(68«) , loncV=> „,
w/.AD =3îra 3 ]
EI=ÿ, CI = ^, B I = ^ ;
vol. C D E I = 1111^5(684)
Fig. 284.
vol. B C I =
donc V =
